Question

[Phương Mai]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng:

4a²+4b²+4c²+abc ≥ 3

giúp mk với ạ, mk cần gấp

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Áp dụng BĐT \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow9abc+18\left(a+b+c\right)\ge12\left(ab+bc+ca\right)+27\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

Do đó:

\(P=4a^2+4b^2+4c^2+abc\ge4a^2+4b^2+4c^2+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{10}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\)

\(P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{10}{9}\left(a+b+c\right)^2-3=13\)

Đề bài bạn viết thiếu số 1 bên vế phải rồi

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Schur:

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)$

$\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27$

$\Leftrightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$

Do đó:

$4(a^2+b^2+c^2)+abc\geq 4(a^2+b^2+c^2)+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3$

$=\frac{10}{3}(a^2+b^2+c^2)+\frac{2}{3}(a+b+c)^2-3$

$\geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2+\frac{2}{3}(a+b+c)^2-3=13$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$