Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Trước hết theo BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+9abc\ge2\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (do \(a+b+c=3\)) (1)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(P=\dfrac{\left(a^2+abc\right)^2}{a^2b^2+2abc^2}+\dfrac{\left(b^2+abc\right)^2}{b^2c^2+2a^2bc}+\dfrac{\left(c^2+abc\right)^2}{a^2c^2+2ab^2c}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2+3abc\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Áp dụng (1):
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left[2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Anh giúp em câu này ạ, câu này hơi khó anh ạ, làm chắc cũng lâu, có gì anh để mai cũng được ạ!
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-sabcd-co-day-la-hinh-binh-hanh-m-va-p-la-hai-diem-lan-luot-di-dong-tren-ad-va-sc-sao-cho-mamd-pspc-x-x0-mat-phang-a-di-qua-m-va-song-song-voi-sab-cat-hinh-chop-sabcd-t.8753881358034
\(\dfrac{1}{\left(a+b+a+c\right)^2}\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{1}{4\left(a^2+ab+bc+ca\right)}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}+\dfrac{4}{c^2}\right)=\dfrac{1}{16}.3=\dfrac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bđt: \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{16}\left[\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2\right]\)\(\Rightarrow16P\le\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)\) với a+b=x,b+c=y,c+a=z
\(\Rightarrow16P\le\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)(do (1))
\(\Rightarrow16P\le\dfrac{1}{4}.16\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}\right)\le\dfrac{1}{4}.4.\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\)(do(2) và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\))
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{16}\)
\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Em nên viết bằng công thức toán học có biểu tượng Σ góc trái màn hình em nhé. Như vậy mọi người mới hiểu đúng đề được để có thể hỗ trợ tốt nhất cho em.
Vâng em cảm ơn cô đã chỉ ạ