Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d/ Đặt \(x=a+b\) , \(y=b+c\) , \(z=c+a\)
thì : \(a=\frac{x+z-y}{2}\) ; \(b=\frac{x+y-z}{2}\) ; \(c=\frac{y+z-x}{2}\)
Ta có : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{x+z-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}\)
\(=\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}-3\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
b/ \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2abc+c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc+a^2\right)+\left(c^2a^2-2abc+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-c\right)^2+\left(bc-a\right)^2+\left(ca-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh.
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\frac{9}{2}\)
mặt khác: \(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\)
do đó cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\ge\frac{9}{2}\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{xy^3z}{x+z}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Bài 2 dùng sos:)) Nhưng em không chắc đâu, chỗ dùng mấy cái kí hiệu tổng ý, nó rất rối, nhưng em lại lười viết ra:)
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}-1+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc}-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\Sigma\frac{a+b+7c}{2}\left(a-b\right)^2}{abc}-\frac{\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left(\frac{a+b+7c}{abc}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)
Ta có: \(\frac{a+b+7c}{abc}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+7c\right)-abc}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}.3\sqrt[3]{7abc}-abc}{abc}=\frac{3\sqrt[3]{7}.abc-abc}{abc}>0\).
Từ đó ta có thể suy ra đpcm.
Nãy nhầm vị trí:v Làm lại bài 3:
Từ giả thiết suy ra \(\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}\)
\(=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và nhân theo vế sẽ thu được t= abc \(\ge8\) (1)
Mặt khác nhân hai vế của giả thiết với (a+1)(b+1)(c+1) thu được:
\(2\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\Sigma a\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c=abc-2\). Từ (1) suy ra cả hai vế đều dương.
Do đó \(\sqrt{a+b+c}=\sqrt{abc-2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3abc\left(a+b+c\right)}=\sqrt{3abc\left(abc-2\right)}\). Mặt khác, theo hệ quả quen thuộc của bđt AM- GM thì \(3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Do đó \(ab+bc+ca\ge\sqrt{3abc\left(abc-2\right)}=\sqrt{3t\left(t-2\right)}\)
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được \(3t\left(t-2\right)\ge12^2\left(\text{với }t\ge8\right)\)
Như vậy ta có đpcm.
P.s: Mong là lần này không bị nhầm
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{abc+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{abc+c^2\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{b\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{c\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)