Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
a) Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\) \(=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)\(\ge\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot2ab\cdot\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\cdot\frac{\left(2ab+a^2+b^2\right)^2}{4}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Do a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Trư - bê - sép , ta có :
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{b+c}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\left(\frac{a}{b+C}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
\(vậy\) \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)( Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Chebyshev như vầy nhé :
Ta có :
\(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit , ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra : \(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a^2+ab-ab}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự ta cx có :\(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\ge b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{a+c}\ge c-\frac{\sqrt{ab}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế tương ứng của (1); (2); (3) ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge a+b+c-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2}\)
\(=\frac{2a+2a+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}}{2}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\right)}{2}\)
\(=\frac{a+b+c+\frac{1}{2}\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2\right]}{2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)(đpcm)
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Ta có 27^5=3^3^5=3^15
243^3=3^5^3=3^15
Vậy A=B
2^300=2^(3.100)=2^3^100=8^100
3^200=3^(2.100)=3^2^100=9^100
Vậy A<B
Ta có : \(\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)-2ab}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}\)
Vì a;b > 0 nên theo cô si thì \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{2ab}{a+b}\le\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow a+b-\frac{2ab}{a+b}\ge a+b-\sqrt{ab}\left(1\right)\)
CM tương tự ta cũng có : \(\frac{b^2+c^2}{b+c}\ge b+c-\sqrt{bc}\left(2\right);\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge c+a-\sqrt{ca}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế của (1) ; (2) ; (3) với nhau ta được :
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge a+b-\sqrt{ab}+bc-\sqrt{bc}+c+a-\sqrt{ca}\)
\(=\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{ac}-\sqrt{bc}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ac}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right]\)
\(\ge a+b+c\)(do \(\frac{1}{2}\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right]\ge0\)) (ĐPCM)
Vậy \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge a+b+c\)
\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)
dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)
Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si
ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)
Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2
Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)
+ hết vào ...=> A>=...
dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)