Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)
\(\Leftrightarrow abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(=12+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(=\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\Leftrightarrow\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}=2\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}\right)=1\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1\)
Đặt \(x=\frac{a}{a+2};y=\frac{b}{b+2};z=\frac{c}{c+2}\). Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x}=\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=\frac{y+z}{x}\Rightarrow a=\frac{2x}{y+z}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\frac{2x}{y+z}.\frac{2y}{z+x}}+\sqrt{\frac{2y}{z+x}.\frac{2z}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{x+y}.\frac{2x}{y+z}}\le3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le3\)
Theo BĐT AM - GM, ta có: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}\le\frac{y}{y+z}+\frac{x}{z+x}\)(1)
Tương tự: \(2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}\le\frac{z}{z+x}+\frac{y}{x+y}\)(2) ;\(2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\)(3)
Cộng theo vế của (1), (2), (3), ta được: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\)\(\le\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)
Vậy bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 1.
Đặt \(a=\frac{1}{x},\text{ }b=\frac{1}{y},\text{ }c=\frac{1}{z}\Rightarrow x+y+z+1=4xyz\Leftrightarrow r=\frac{p+1}{4}\)
Cần chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\sqrt{xyz}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\Sigma\sqrt{xy}\le9xyz\)
\(\Leftrightarrow4\left(p+2\Sigma\sqrt{xy}\right)\le9\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow8\Sigma\sqrt{xy}\le5p+9\) (1)
Ta có: \(t^2+u^2+v^2+2tuv+1\ge2\left(tu+uv+tv\right)\) (quen thuộc, trên mạng chắc có)
Vì vậy: \(x+y+z+2\sqrt{xyz}+1\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Hay là: \(4\left(p+2\sqrt{xyz}+1\right)\ge8\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta chứng minh: \(4\left(p+2\sqrt{r}+1\right)\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow4p+4\sqrt{\left(p+1\right)}+4\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\ge0\). Xong.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Vì abc = 1 nên ta có thể đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\). Khi đó:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(1+1+1\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{yz}{xy+xz+2yz}\right)\left(\text{ }\right)\)(Theo BĐT Cauchy-Schwarz)
\(\le\frac{3}{4}\left[\Sigma_{cyc}yz\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)\right]=\frac{3}{4}\left(\Sigma_{cyc}\frac{xy+yz}{xy+yz}\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
với x,y >0 ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)..\)
Áp dụng bất đẳng thức trên được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\left(1\right).\)( vì abc = 1 )
Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\left(2\right).\)
\(\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được :
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}.\)( đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi a = b = c = 1
Trước khi đọc lời giải hãy thăm nhà em trước nhé ! See method from solution! Cảm ơn mn!
Ok, giờ chú ý:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{ab.ca+abc+ab}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\) với abc = 1.
Như vậy: \(VT=\sqrt{\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}\right)^2}\le\sqrt{3\left(\Sigma\frac{1}{\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+\frac{\left(ab+a+1\right)}{3}+1}\right)}\)
\(\le\sqrt{\frac{3}{16}\left[\Sigma\left(\frac{9}{ab+a+1}+1\right)\right]}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Sử dụng AM - GM ta dễ có:
\(abc\left(a+b+c\right)=bc\left(a^2+ab+ac\right)\le\left(\frac{a^2+ab+bc+ca}{2}\right)^2=\left[\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\right]^2=\frac{1}{4}\)
Suy ra đpcm
trước hết ta cần chứng minh \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5a^2}\le4b-a\left(1\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow19b^3-a^3\le\left(4b-a\right)\left(ab+5a^2\right)\left(ab+5a^2>0\right)\)
phá ngoặc và biến đổi thành bất đẳng thức quen thuộc\(a^3+b^3\ge\left(a+b\right)ab\)với a,b dương
để cm bất đẳng thức này ta cần biến đổi tương đương thành\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b)
chứng minh tương tự ta có VT\(\le\)4b-a+4c-b+4a-c\(=\)3(a+b+c)
để tham khảo thêm bạn có thể vào toán học tuổi trẻ số 440