VA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VA
0
KN
31 tháng 5 2020
Xét vế trái, ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)(Do theo giả thiết thì ab + bc + bc = 1)
\(=\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+3\)
Khi đó, ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)
Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\)\(\le\frac{\frac{a+b+a+c}{2}}{a}=\frac{2a+b+c}{2a}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}\le\frac{2b+c+a}{2b}\)(2); \(\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\le\frac{2c+a+b}{2c}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)\(\le\frac{2a+b+c}{2a}+\frac{2b+c+a}{2b}+\frac{2c+a+b}{2c}\)
\(=3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\right]\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\ge3\)(Điều này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)\(\ge\frac{1}{2}.6\sqrt[6]{\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
MK
1
7 tháng 7 2019
\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(a-bc\right)\sqrt{\frac{1}{\left(a+b\right)^2\left(c+a\right)^2}}\le\frac{\frac{a-bc}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{\left(c+a\right)^2}}{2}=\frac{a-bc}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{a-bc}{2\left(c+a\right)^2}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{b-ca}{b+ca}\le\frac{b-ca}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b-ca}{2\left(a+b\right)^2}\)\(;\)\(\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{c-ab}{2\left(c+a\right)^2}+\frac{c-ab}{2\left(b+c\right)^2}\)
=> \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{a-bc+b-ca}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{b-ca+c-ab}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{a-bc+c-ab}{2\left(c+a\right)^2}\)
\(\frac{\left(a+b\right)\left(1-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(1-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)\left(1-a\right)}{2\left(b+c\right)\left(1-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)\left(1-b\right)}{2\left(c+a\right)\left(1-b\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
N
17 tháng 9 2017
Biến đổi like that:
\(VT=\sum\dfrac{1}{ab}=\sum\dfrac{ab+bc+ca}{ab}=\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)+3\)
nên chỉ cần :\(\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\ge\sum\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+1}=\sum\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}\)
Áp dụng AM-GM:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\dfrac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\le\dfrac{2a+b+c}{2a}\)
Áp dụng tương tự:
\(VP=\sum\dfrac{\sqrt{a^2+1}}{a}\le\sum\dfrac{2a+b+c}{2a}=3+\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right)\)
BĐT đúng khi ta chứng minh được
\(VT=\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\ge3+\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\)
Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM:
\(\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\right)\ge\dfrac{1}{2}.6\sqrt[6]{\dfrac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)
\(\Rightarrow\)đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c
TL
0
KT
0
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3