PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NP
0
QT
1
7 tháng 1 2017
Nhìn cái đề gớm quá. Tập viết đề đi nhé b
Ta có:
\(\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+1-a^2-b^2-c^2-a^2b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(1)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\ge a^2+b^2+c^2\)(2)
Ta lại có
\(\hept{\begin{cases}a^2b\left(1-b\right)\ge0\\b^2c\left(1-c\right)\ge0\\c^2a\left(1-a\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2b\ge a^2b^2\\b^2c\ge b^2c^2\\c^2a\ge c^2a^2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Rightarrow1+a^2b+b^2c+c^2a\ge1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(3)
Từ (1), (2), (3)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le1+a^2b+b^2c+c^2a\)
N
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 7 2019
Lời giải:
Vì $a,b,c\in [0;1]$ nên: \(a(a-1)(b-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a(ab-a-b+1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2b\geq a^2+ab-a\)
Tương tự với \(b^2c; c^2a\) suy ra:
\(a^2b+b^2c+c^2a+1\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+1-a-b-c(1)\)
Lại có:
\((a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1\leq 0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+1\geq a+b+c+abc\geq a+b+c(2)\) do $abc\geq 0$
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+1\geq a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
28 tháng 1 2021
444448888855555695+777+6666555888852652522222222222222222256585965
28 tháng 1 2021
Đặt A=2a2b2+2c2a2+2b2c2 - a4 - b4 - c4
A= - ( a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2)
A= - (a4 + b4 + c4 - 2(ab)2 - 2(bc)2-2(ca)2 - 4(ca)2)
áp dụng hàng đẳng thức:
(a2-b2+c2)=a4+b4+c4-2(ab)2-2(bc)2+2(ca)2
A= - ( (a2-b2+c2)-4(ca)2)
A= - (a2-b2+c2-2ca) (a2-b2+c2+2ca)
CHÚC BẠN HỌC TỐT##
A
23 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{a+2b^2}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a+2b^2}\cdot\dfrac{a+2b^2}{9}}=\dfrac{2a}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT+\dfrac{a+b+c+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{3+2\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{9}\ge\dfrac{2}{3}\cdot3\)
\(\Leftrightarrow VT+1\ge2\Leftrightarrow VT\ge1\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
23 tháng 1 2018
WLOG \(a\ge b \ge c\)
Chebyshev: \(\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\le3\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le a^4+b^4+c^4\)
Cauchy-Schwarz: \(VT=\dfrac{a^4}{a^3+2a^2b^2}+\dfrac{b^4}{b^3+2b^2c^2}+\dfrac{c^4}{c^3+2a^2c^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=1=VP\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)
\(=[a(a+b+c)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
wtf??