MS
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
1
27 tháng 7 2023
Ta có :
\(\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))
\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow dpcm\)
NT
14 tháng 3 2018
\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=0\\ \Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=0\left(đpcm;a+b+c=0\right)\)
NT
1
16 tháng 11 2019
Ta có : a + b + c = 0
( a + b + c )\(^2\) = 0
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
Nên : \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(b+c+a\right)\)
\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
Lại có : \(2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab^2c+4abc^2+4a^2bc\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc\left(b+c+a\right)\)
\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)
Vì : \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2a^2b^2+2b^2c^2=2c^2a^2\)
Vậy \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 8 2017
Sửa lại đề: \(a+b+c=0\)
a) Ta có:
\(A=a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4abc(a+b+c)\)
(do \(a+b+c=0\))
\(A=4(ab+bc+ac)^2-2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)]\)
\(=4(ab+bc+ac)^2-2(ab+bc+ac)^=2(ab+bc+ac)^2\)
Ta có đpcm
b) Ta có:
\(\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2}=\frac{[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=\frac{[-2(ab+bc+ac)]^2}{2}=2(ab+bc+ac)^2\)
Kết hợp với kết quả phần a ta có đpcm.
26 tháng 9 2017
Bạn ơi cái chỗ
= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)= 2(ab+bc+ca)^2
thì phải là như thế này chứ
= 4(ab+bc+ca)^2 - 2(ab+bc+ca)^2= 2(ab+bc+ca)^2
Đây là ý mình còn nếu ko phải mong bạn bỏ qua và giải thích cho mình nhé!!
1 tháng 10 2016
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
13 tháng 10 2016
Ta có \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2acb^2+2abc^2\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Ta lại có
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ca\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
20 tháng 6 2017
Ta có (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2a2bc+2acb2+2abc2
=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=a2b2+b2c2+c2a2
Ta lại có
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0
⇔(a2+b2+c2)2=4(ab+bc+ca)2
⇔a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4(ab+bc+ca)2
⇔a4+b4+c4+2(ab+bc+ca)2=4(ab+bc+ca)2
⇔a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\left(-2ab\right)^2-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(đpcm\right)\)