Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)
\(\Rightarrow c^2-a^2-b^2=2ab\)
Tương tự :
\(b^2-c^2-a^2=2ac\)
\(a^2-b^2-c^2=2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Mà \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( cái này rất dễ chứng minh nha , bạn có thể tham khảo trên mạng hoặc nhắn tin cho mình )
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\left(b+c\right)^2\\b^2=\left(a+c\right)^2\\c^2=\left(a+b\right)^2\end{matrix}\right.\)Thay vào M đc
\(M=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}\)\(\Leftrightarrow M=\frac{1}{2}\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\right)\)
Tháy hơi sai đề rồi
ta thấy từ a+b+c=0 \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(được cm nhiều trg sách cx như trên mạng)
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
suy ra đpcm
Ta có : \(a+b+c=0\)
Lập phương 2 vế lên ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
mà \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta lại có:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=0\)
Theo chứng minh trên có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\frac{3abc}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow3-3=0\)( đúng )
Vậy với \(a+b+c=0\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)thì \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
a) \(A=\frac{a^2}{cb}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\)
\(A=\frac{a^2.a+b^2.b+c^2.c}{abc}\)
\(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\left(2\right)\)
Lấy (2) thay vào (1), ta được:
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
a) cho a+b+c=0a+b+c=0 và abc khác 0 Tính a2(a2−b2−c2)+b2(b2−c2−a2)+c2(c2−b2−a2)
b) B mình k biết
1. Ta có : x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)( x + y + z )2 = 0 \(\Rightarrow\)x2 + y2 + z2 = - 2 ( xy + yz + xz )\(S=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}\)
\(S=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-4\left(xy+yz+xz\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-6\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{1}{3}\)
Do \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow c=-a-b\)
\(\Rightarrow c^2=a^2+2ab+b^2\)
Tương tự,ta có:
\(a^2=b^2+2bc+c^2\)
\(b^2=a^2+2ac+c^2\)
Thay vào bài toán,ta được:
\(P=\frac{c^2}{a^2+b^2-\left(a^2+2ab+b^2\right)}+\frac{a^2}{b^2+c^2-\left(b^2+2bc+c^2\right)}+\frac{b^2}{c^2+a^2-\left(a^2+2ac+c^2\right)}\)
\(P=\frac{-c^2}{2ab}+\frac{-a^2}{2bc}+\frac{-b^2}{2ac}\)
\(P=\frac{-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2abc}\)
Do \(a+b+c=0\Rightarrow-a=b+c\)
\(\Rightarrow-a^3=b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow-a^3=b^3+c^3-3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó,ta có:
\(P=\frac{-\left(3abc\right)}{2abc}=-\frac{3}{2}\)
\(a\left(a^2-bc\right)+b\left(b^2-ac\right)+c\left(c^2-ab\right)=0\)
\(a^3-abc+b^3-abc+c^3-abc=0\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca-3ab\right)=0\)
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab\right)=0\)
Mà \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab=0\)
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
mình làm hơi tắt.
Đến đây bạn tự làm nốt nhé~
Gọi biểu thức đã cho là A
ta có a+b+c =0 suy ra b+c = -a bình phương 2 vế ta có b2+c2+2bc=a2 suy ra 2bc = a2-b2-c2
tương tự thì ta có \(A=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Với a+b+c =0 ta lại chứng minh được a3+b3+c3=3abc
Do đó \(A=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\) ( vì a,b,c khác 0)
563626993646846830699546963839068095685468787806796579=0597