Question

[pham tuan anh]

Cho ∆ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD =
HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng ∆BEC ∼ ∆ADC. Tính BE theo m = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng ∆BHM ∼ ∆BEC. Tính AHM 
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng \(\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

góc ACB chung

Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB

=>CD/CA=CE/CB

=>CD/CE=CA/CB

=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB

=>EB/DA=BC/AC

mà BC/AC=AC/CH

nên EB/DA=AC/CH=BA/HA

=>BE/AD=BA/HA

=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)

\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2

nên góc AEB=45 độ

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AM vuông góc với BE

BM*BE=BA^2

BH*BC=BA^2

Do đó: BM*BE=BH/BC

=>BM/BC=BH/BE

=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE