Question

[Ngọc Anh]

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB(D ∈ AB).

a. Chứng minh rằng BD/BH=BA/BC

b. Gọi O là giao điểm của AH và CD. Qua O kẻ đường thẳng song song với DH cắt BC tại F. Gọi E là giao điểm của DH và AF. Chứng minh rằng: HD = HE;

c. Gọi I là giao điểm của AH và CE. Chứng minh rằng: BI//AC;

d. Gọi K là giao điểm của AB và CI, G là giao điểm của AF và CO.

Giúp mình vs

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C H D O F E I

a/

Xét tg vuông DBH và tg vuông ABC có

\(HD\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HD//AC

\(\Rightarrow\widehat{BHD}=\widehat{BAC}\) (góc đồng vị)

=> tg DBH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BA}{BC}\)

b/

DH//AC (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OC}{OD}\left(Talet\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OA+OH}{OC+OD}=\dfrac{AH}{CD}\Rightarrow\dfrac{OA}{AH}=\dfrac{OC}{CD}\) (1)

Xét tg AHE có

OF//DH (gt) => OF//HE \(\Rightarrow\dfrac{OA}{AH}=\dfrac{OF}{HE}\) (2)

Xét tg CDH có

OF//HD (gt) \(\Rightarrow\dfrac{OC}{CD}=\dfrac{OF}{HD}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{OF}{HD}=\dfrac{OF}{HE}\Rightarrow HD=HE\)

c/

Xét tg ABC có

HD//AC (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{HD}{AC}\) (4)

Xét tg AIC có 

DH//AC (cmt) => HE//AC \(\Rightarrow\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{HE}{AC}\) (5)

Mà \(HD=HE\left(cmt\right)\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{IH}{AI}\Rightarrow\dfrac{BC}{AI}=\dfrac{BH}{IH}=\dfrac{BC-BH}{AI-IH}=\dfrac{HC}{AH}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{IH}{AH}\)

Xét tg HBI và tg HCA có

\(\widehat{BHI}=\widehat{AHC}\) (góc đối đỉnh)

\(\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{IH}{AH}\left(cmt\right)\)

=> tg HBI đồng dạng với tg HCA (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{HBI}=\widehat{HCA}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong  => BI//AC