Question

[Phung Khanh Huy]

cho a;b;c thuộc Z và a² + b² =c² Chứng minh rằng :

a,  Trong hai số a và b có ít nhất 1 số chia hết cho 3

b,   ab chia hết cho 12

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a. Giả sử $a,b$ đều không chia hết cho 3.

Ta biết 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1. Mà $a,b$ không chia hết cho 3 nên $a^2, b^2$ chia 3 đều dư 1.

$\Rightarrow c^2=a^2+b^2$ chia 3 dư 2 (vô lý vì $c^2$ là scp mà scp khi chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1)

Do đó điều giả sử là sai. Tức là trong 2 số $a,b$ có ít nhất 1 số chia hết cho 3.

b.

Vì trong 2 số $a,b$ có ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên $ab\vdots 3$ (1)

Lại có:

Nếu $a,b$ đều lẻ thì $a^2\equiv 1\pmod 4, b^2\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow c^2=a^2+b^2\equiv 2\pmod 4$ (vô lý vì scp khi chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

Nếu $a,b$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ. Không mất tổng quát giả sử $a$ chẵn, $b$ lẻ.

$\Rightarrow a^2+b^2=c^2$ lẻ nên $c$ lẻ.

Ta có: $a^2=c^2-b^2$

Mà $c^2, b^2$ là scp lẻ nên $c^2\equiv 1\pmod 8; b^2\equiv 1\pmod 8$

$\Rightarrow a^2\equiv 1-1\equiv 0\pmod 8$

$\Rightarrow a\vdots 4$

$\Rightarrow ab\vdots 4$

Nếu $a$ chẵn, $b$ chẵn thì hiển nhiên $ab\vdots 4$

Vậy tóm lại $ab\vdots 4$ (2)

Từ (1); (2) $\Rightarrow ab\vdots 12$ 

Ta có đpcm.