Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
từ đề bài => \(2014+\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2}+2014=\frac{a^2+b^2}{c^2}+2014\)
=> \(\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\). theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau
=> \(\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{b^2+c^2+a^2+c^2+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2.\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=2\)
=> \(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=2\)=>\(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=2+2+2=6\)
=> \(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}=6:2=3\)\(P=2015.\left(\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\right)=2016.\left(\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}\right)=2016.3=6048\)
Bài 1 :
Ta có : \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Ta chứng minh BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Thật vậy : BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) ( đúng )
Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Áp dụng vào bài toán ta có : \(S\ge2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy min \(S=6\) tại \(a=b=c\)
ta nhân lần lượt a,b,c,d vào biểu thức ban đầu , được
\(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{ba}{a+c+d}+\frac{ac}{a+b+d}+\frac{ad}{a+b+c}=a\left(1\right)\\\frac{ab}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{cb}{a+b+d}+\frac{db}{a+b+c}=b\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{ac}{b+c+d}+\frac{bc}{c+a+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{dc}{a+b+c}=c\left(3\right)\\\frac{ad}{b+c+d}+\frac{bd}{a+c+d}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}=d\left(4\right)\end{cases}}\)
Lấy (1)+(2)+(3)+(4) ta có :
\(\left(\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\right)+\frac{ab+bc+bd}{c+d+a}+\frac{ac+bc+cd}{d+a+b}\)
\(+\frac{ad+bd+cd}{a+b+c}+\frac{ab+ac+ad}{b+c+d}=a+b+c+d\)
\(< =>A+\frac{b\left(c+d+a\right)}{c+d+a}+\frac{d\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\frac{c\left(b+d+a\right)}{b+d+a}+\frac{a\left(c+b+d\right)}{c+b+d}=a+b+c+d\)
\(< =>A+a+b+c+d=a+b+c+d=>A=0\)
Vậy \(A=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}=0\)