Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a2+b2+c2=1
Tìm GTNN của C= \(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ac}{b}\)+\(\frac{ab}{c}\)
mình sẽ giải câu 3 cho bạn nhé
đề bài=> \(\frac{1}{x^2+4x+5x+20}+\frac{1}{x^2+5x+6x+30}+\frac{1}{x^2+6x+7x+42}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-...-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(18\left(x+7\right)-18\left(x+4\right)=\left(x+7\right)\left(x+4\right)\)
\(\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
nhớ thank mk nhé
câu 5 nà
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=>\(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\ge9\)
<=>\(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge9\)
<=>\(3+2+2+2\ge9\)(bất đẳng thức luôn đúng)
=> điều phải chứng minh
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
a) Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\) \(=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)\(\ge\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot2ab\cdot\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\cdot\frac{\left(2ab+a^2+b^2\right)^2}{4}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
2.
a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)
>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
= 9
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
2.
b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )
<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2
<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^2}{4}+\frac{1}{a^2}\geq 1$
$\frac{b^2}{4}+\frac{1}{b^2}\geq 1$
$\frac{c^2}{4}+\frac{1}{c^2}\geq 1$
$\frac{3}{4}a^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}b^2\geq \frac{3}{2}; \frac{3}{4}c^2\geq \frac{3}{2}$ do $a,b,c\geq \sqrt{2}$
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
$P\geq \frac{15}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{15}{2}$ khi $a=b=c=\sqrt{2}$