Question

[hacker]

Cho △ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O) bán kính \(R\) . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tron (O).

a) → Chứng minh: AB . AC = AD . AK và S.ABC = \(\frac{AB.AC.BC}{4R}\)

b) AD cắt đường tròn (O) tại M.

→ Chứng minh: \(\hat{BHM}=\hat{BMH}\) và H đối xứng với M qua BC

c) BE cắt đường tròn (O) tại N.

→ Chứng minh: \(CH=CH\) và C là tâm đường tròn ngoại tiếp △MHN

d) Cho \(\hat{BAC}\) = \(60^{o}\).

→ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp △AEF theo \(R\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

DO đó: ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

\(\hat{ABC};\hat{AKC}\) là các góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{ABC}=\hat{AKC}\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔACK vuông tại C có

\(\hat{ABD}=\hat{AKC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACK

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AK}\)

=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK\)

\(\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{2\cdot2R}=\frac{AD\cdot AK\cdot BC}{2\cdot AK}=\frac{AD\cdot BC}{2}=S_{ABC}\)

b: Xét (O) có

\(\hat{BMA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA

=>\(\hat{BMA}=\hat{BCA}\)

=>\(\hat{BMH}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BHD}=\hat{BCA}\left(=90^0-\hat{HBD}\right)\)

nên \(\hat{BHD}=\hat{BMD}\)

=>\(\hat{BHM}=\hat{BMH}\)

=>BH=BM

=>ΔBHM cân tại B

Ta có: ΔBHM cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là đường trung trực của HM

=>H đối xứng M qua BC

c: Xét (O) có

\(\hat{CNB};\hat{CAB}\) là các góc nội tiếp chắn cung CB

=>\(\hat{CNB}=\hat{CAB}\)

mà \(\hat{CAB}=\hat{CHE}\left(=90^0-\hat{ACF}\right)\)

nên \(\hat{CNH}=\hat{CHN}\)

=>CN=CH

mà CM=CH(C nằm trên đường trung trực của HM)

nên CM=CH=CN

=>C là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMHN

Answer 2

[hacker]

Câu d đâu ạ?