Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Trước tiên ta đi cm bất đẳng thức sau: với \(a,b>0\) thì \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) ( luôn đúng)
Do đó:, kết hợp với \(abc=1\Rightarrow \)\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{a+b+c}=1=\frac{1}{abc}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
TT: \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
\(\le\frac{1}{a+b+c}.\frac{c+a+b}{abc}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)
ta chứng minh đc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
thay vào + biến đổi ta có đpcm
đẳng thúc xảy ra khi a=b=c
lol!!!
Ta có: \(x^3+y^{ 3}=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=\left(x+y\right)xy,\forall x,y\ge0\)
Áp dụng:
\(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\sum_{cyc}\dfrac{1}{\left(a+b\right)ab+abc}=\sum_{cyc}\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=\left(x+y\right)xy\)( \(\forall x,y\ge0\) )
Áp dụng: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{\left(a+b\right)ab+abc}=\sum\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
1) Áp dụng bất đẳng Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
(Cauchy 3 số) Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
2) Áp dụng kết quả phần 1 ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^2+c^3\right)^2}{3\cdot\frac{1}{3}}=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\text{≥}\) \(\left(a+b\right)ab\)
⇒ \(a^3+b^3+abc\text{≥}\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Tương tự : \(b^3+c^3+abc\text{ ≥}\left(b+c\right)bc+abc=bc\left(a+b+c\right)\)
\(c^3+a^3+abc\text{ ≥}\left(a+c\right)ac+abc=ac\left(a+b+c\right)\)
⇒ \(VT\text{ }\text{≤}\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\)
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=Cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+th%E1%BB%B1c+d%C6%B0%C6%A1ng+a,+b,+c+tho%E1%BA%A3+m%C3%A3n:+abc+a+b=3ababc+a+b=3ababc+a+b=3ab.+Ch%E1%BB%A9ng+minh+r%E1%BA%B1ng:+%E2%88%9Aaba+b+1+%E2%88%9Abbc+c+1+%E2%88%9Aaca+c+1%E2%89%A5%E2%88%9A3aba+b+1+bbc+c+1+aca+c+1%E2%89%A53\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ca+c+1}}\ge\sqrt{3}&id=695796
Lời giải:
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM thì:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{3})^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 1\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\)
Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\) (BĐT Cauchy)
hay \(\text{VT}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)