Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.
BĐT cần cm tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).
Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.
Vậy ta có đpcm.
a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)
Chứng minh tương tự: b < 1; c < 1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a>0\\1-b>0\\1-c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ac>abc\)
\(\Leftrightarrow abc< -1+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< -2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)
Do 0 < a,b,c < 1 nên (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
hay abc < ab + bc + ca - (a + b + c) + 1 = ab + bc + ca - 1
suy ra:a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca - 1) = (a + b + c)2 - 2 = 22 - 2 = 2
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
g thiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c
=> p - a = (a + b + c)/2 - a
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2
=> p - a = (b + c - a)/2
=> 2(p - a) = b + c - a (1)
Tương tự ta chứng minh được:
2(p - b) = a + c - b (2)
2(p - c) = a + b - c (3)
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b)
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ]
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ]
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Ta có: (x - y)² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy
<=> (x + y)² ≥ 4xy
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)]
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*)
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4)
Chứng minh tương tự ta được:
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5)
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6)
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) )
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c.
Theo bđt tam giác, ta có : \(\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}bc+ac>c^2\\ab+ac>a^2\\ab+bc>b^2\end{cases}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< \frac{1}{2}\)
mik thik mark tuan nek
bài này khó quá
khó
khó