Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 7\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}< 7\)
Không giảm tổng quá .Giả sử a là cạnh lớn nhất .Giả b + c < a => 0 < \(\frac{b+c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b}+\frac{b+a}{c}+\frac{c+b}{a}>\frac{2c+b}{b}+\frac{2b+c}{c}+\frac{b+c}{a}\)( không chắc lắm )
= \(\frac{2c}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{b+c}{a}+2\)
=\(\frac{2\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{b+c}{a}-2>7\left(VL\right)\)
=>b+ c > a => a ; b ; c là 3 cạnh tam giác ( đpcm )
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\) suy ra x,y,z dương và cần cm
\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)
\(\ge8Σ_{cyc}\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Rearrangement
WLOG \(a=max\left\{a,b,c\right\}\rightarrow90^o\le\widehat{A}< 180^o\rightarrow cosA\le0\)
Khi đó \(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA\ge b^2+c^2\)
\(LHS=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(=a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\left(b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+1\)
\(\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}+5\)
\(=\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}+5+\frac{3a^2}{b^2+c^2}\)
\(\ge2+5+3=10\)
"=" b=c và A=90 hay tam giác ABC vuông cân tại A
Bài 1:Với a,b,c,d dương
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}<\frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}<\frac{c}{a+c+d}<\frac{c+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}<\frac{d}{a+b+d}<\frac{d+b}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế 4 bất đẳng thức tên ta có:
\(\) 1< A <2 (đpcm)
Bài 2: a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.ta có:
\(\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(đpcm\right)\)
Bài này là bài chốt trong đề thi hsg toán 9 cấp huyện năm nay của đức thọ đó!
bạn vào Thư viện đề thi THCS Hoàng Xuân Hãn rồi bấm vào mục ở dưới dưới ak tên mục là
Đáp án đề thi hsg toán 9 huyện Đức Thọ năm học 2018-2019 Đây là bài cuối của đề ak!
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)
Khi đó, \(x,y,z\) dương và ta cần c/m:
\(\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\left(2z+x+y\right)\)
\(\ge8Σ\left(y-z\right)\left(2x+y+z\right)\left(2y+x+z\right)\)
Hay \(Σ\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Nó hiển nhiên đúng vì \(x^3+y^3+z^3\ge x^2z+y^2x+z^2y\) theo BĐT Rearrangement