Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
< 2(ab+bc+ca)
Ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).
\(\left(b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).
\(\left(c+a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:
\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).
Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)
Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm
nguyễn hồng quân đấy là phim hành động nhé chứ không phải phim hoạt hình nhé bạn !!!
bằng nhau trong trường hợp tam giác đều bạn tự làm nha còn bé hơn thì trước tiên viết 3 bất đẳng thức của tam giác sau đó cho 1 giả sử để chứng minh hoặc là biến đổi bất đẳng thức của tam giác giờ mình lười làm lắm hướng dẫn như vậy thôi