K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 8 2017
BĐT tam giác:a<b+c>>>a^2<ab+ac
Tương tự,b^2<ba+bc,c^2<ca+cb
>>>>a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)(đpcm)
8 tháng 8 2017
Theo bđt tam giác có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\\b< a+c\Rightarrow b^2< ab+bc\\c< a+b\Rightarrow c^2< ac+bc\end{cases}}\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
8 tháng 5 2019
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\);\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(a,b,c>0)
Vậy ta có đpcm.
Câu 4:
Theo BĐT tam giác ta có:
$a< b+c$
$=> a^2< ab+ac$
$b< c+a$
$=> b^2 <bc+ba$
$c<a+b$
$=> c^2 <ca+cb$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
$a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca) (1)$
Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$ với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
$<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 ≥ 0$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)$
$<=> ab+bc+ca ≤ a^2+b^2+c^2 (2)$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ <=> tam giác đó đều
(1),(2) => đpcm