Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TL:
\(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)
\(=\left(b^2+c^2-a^2+2bc\right)\left(b^2+c^2-a^2-2bc\right)\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, phân tích thành nhân tử
M = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2
= (a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)
= [(a-b)^2 - c^2][(a+b)^2 - c^2]
= (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
b. Nếu a,b,c là số đo độ dài 3 cạnh của tam giác thì ta có:
a-b < c => a-b-c < 0
a+c > b => a+b-b > 0
a+b > c => a+b-c > 0
a+b+c > 0
Vì tích của 1 số âm với 3 số dương luôn nhận được kết quả là số âm
=> (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c) < 0
Vậy chứng tỏ a,b,c là số đo độ dài của tam giác thì M < 0
Theo BĐT Schur thì ta có:
\((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
Vậy thì giờ chỉ theo AM-GM là xong
\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}=3\)
Ta có (a-b)²≥0 nên a²+b²≥2ab, tương tự b²+c²≥2bc, c²+a²≥2ca, cộng vế với vế rồi chia 2 2 vế ta có a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b>c → c(a+b)>c², tương tự b(a+c)>b², a(b+c)>a², cộng vế với vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm a^2 + b^2 + c^2 là ra nha bạn
Để phân tích đa thức sau thành nhân tử:
\(a \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + b \left(\right. c - a \left.\right)^{2} + c \left(\right. a - b \left.\right)^{2} - a^{3} - b^{3} - c^{3} + 4 a b c\)
Bước 1: Tính các bình phương và sắp xếp
Chúng ta bắt đầu bằng cách mở rộng các bình phương trong đa thức:
\(\left(\right. b - c \left.\right)^{2} = b^{2} - 2 b c + c^{2}\)\(\left(\right. c - a \left.\right)^{2} = c^{2} - 2 a c + a^{2}\)\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}\)
Thay các biểu thức này vào đa thức ban đầu:
\(a \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + b \left(\right. c - a \left.\right)^{2} + c \left(\right. a - b \left.\right)^{2} = a \left(\right. b^{2} - 2 b c + c^{2} \left.\right) + b \left(\right. c^{2} - 2 a c + a^{2} \left.\right) + c \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right)\)
Mở rộng từng phần:
\(= a b^{2} - 2 a b c + a c^{2} + b c^{2} - 2 a b c + b a^{2} + c a^{2} - 2 a b c + c b^{2}\)
Kết hợp các hạng tử lại:
\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 6 a b c\)
Bây giờ, cộng thêm các hạng tử còn lại trong đa thức gốc:
\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 6 a b c - a^{3} - b^{3} - c^{3} + 4 a b c\)
Bước 2: Kết hợp các hạng tử
Ta tiếp tục gộp các hạng tử giống nhau:
\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 2 a b c - a^{3} - b^{3} - c^{3}\)
Bước 3: Phân tích đa thức
Tiếp theo, chúng ta thấy rằng các hạng tử này có thể nhóm lại và có thể thấy rằng đây là một dạng biểu thức có thể được rút gọn hoặc có thể phân tích thêm theo các cách đặc biệt, như sử dụng các công thức đặc biệt trong đại số.
Tuy nhiên, việc phân tích đa thức này hoàn toàn thành nhân tử đơn giản rất khó khăn mà không sử dụng các công thức hoặc phương pháp phức tạp hơn (ví dụ, phân tích theo nhóm hoặc sử dụng máy tính đại số).
Do đó, kết quả cuối cùng của đa thức này là dạng rút gọn.
Ta có : Do a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên :
\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\)
\(\dfrac{b}{a+b+c}< \dfrac{b}{c+a}< \dfrac{2b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 vế với nhau , ta có :
\(1< \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Ta có :
\(\dfrac{â}{b+c}>\dfrac{a}{a+b+c}\);
\(\dfrac{b}{c+a}>\dfrac{b}{a+b+c}\);
\(\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (*)
Ta có bất đằng thức tam giác : a+b > c ; b+c > a ; a+c > b
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< 1;\dfrac{b}{a+c}< 1;\dfrac{c}{a+b}< 1\)
Vì \(\dfrac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự :
\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{2b}{a+b+c};\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (**)
Kết hợp (*) với (**)
=> ĐPCM
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a > 0)
Tương tự: \(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Từ 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Thât vậy, do a, b, c là các cạnh của tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với
\(a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)< 0\)
Bất đẳng thức này đúng vì a>0 và a < b + c (vì trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba).
Vậy ta có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự, \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bất đẳng thức trên suy ra:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Mình chỉ chứng minh được bé hơn 2 thôi nhe
Theo bất đẳng thức tam giác thì b+c>a => \(\frac{a}{b+c}< \frac{a}{a}\left(=1\right)\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{b}{a+c}< 1\)
\(\frac{c}{a+b}< 1\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 3\)