Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Ta có:\(P=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+c^2+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\)(bđt cauchy-schwarz)
\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{81}+\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\left(a^2+b^2+c^2\right)}{81}\left(AM-GM\right)\)
Sử dụng đánh giá quen thuộc:\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}+\frac{80\cdot27}{81}=\frac{82}{3}\)
"="<=>a=b=c=3
nhận được thông báo thì kéo chuột xuống xem bài giải của t ở phần duyệt bài nhé
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Cô si:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.\frac{\left(a+b\right)}{8}.\frac{\left(b+c\right)}{8}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự với 2 cục còn lại, công theo vế:
\(VT+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}\text{ }\left(dpcm\right)\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge0\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) (2)
Mặt khác,ta cũng có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
Ta cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge0\) (3)
Thay a + b + c = 0 vào (1),ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge0\)(luôn đúng) (4)
Từ (4) suy ra (3) đúng suy ra (2) đúng suy ra đcpm
Thiếu chỗ câu cuối: "Từ (4) suy ra (3) đúng suy ra (2) luôn đúng suy ra (1) đúng.Từ đó suy ra đpcm"