Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
*\(a^2+2bc=a^2+bc-ca-ab=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\)
Tương tự cho 2 cái còn lại.
Ta có:
\(C=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ca}+\dfrac{b^2}{b^2+ac-ab-bc}+\dfrac{c^2}{c^2+ab-bc-ca}\)
\(C=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
Tới đây cứ việc quy đồng mẫu là được.
Từu giả thiết \(\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow bc=-ab-ac\). Thay vào ta được:
\(a^2+2bc=a^2+bc-ab-ac=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự rồi quy đồng, rút gọn ta tính được giá trị của P
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
1) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 ab+bc+ca=0
<-->bc=−ac−ca -->a^2+2bc=a^2+bc−ca−ab
<--> a^2+2bc=(a−c)(a−b)
Tương tự với 2 phân số còn lại rồi quy đồng
2) Cộng hai vế của c^2+2(ab−ac−bc)=0 lần lượt với a^2;b^2 ta có:
a^2=c^2+2ab−2ac−2bc+a^2=(a−c)^2+2b(a−c) (1)
b^2=c^2+2ab−2ac−2bc+b^2=(b−c)^2+2a(b−c) (2)
Từ (1) và (2) -> $\frac{\text{a^2+(a−c)^2}}{\text{b^2+(b−c)^2}}=\frac{\text{(a−c)^2+2b(a−c)+(a−c)^2}}{\text{(b−c)^2+2a(b−c)+(b−c)^2}}=\frac{\text{2(a−c)^2+2b(a−c)}}{\text{2(b−c)^2+2a(b−c)}}=\frac{\text{2(a−c)(a−c+b)}}{\text{2(b−c)(b−c+a)}}=\frac{a-c}{b-c}$a^2+(a−c)^2b^2+(b−c)^2 =(a−c)^2+2b(a−c)+(a−c)^2(b−c)^2+2a(b−c)+(b−c)^2 =2(a−c)^2+2b(a−c)2(b−c)^2+2a(b−c) =2(a−c)(a−c+b)2(b−c)(b−c+a) =a−cb−c
1) (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 ab+bc+ca=0
<-->bc=−ac−ca -->a^2+2bc=a^2+bc−ca−ab
<--> a^2+2bc=(a−c)(a−b)
Tương tự với 2 phân số còn lại rồi quy đồng
2) Cộng hai vế của c^2+2(ab−ac−bc)=0 lần lượt với a^2;b^2 ta có:
a^2=c^2+2ab−2ac−2bc+a^2=(a−c)^2+2b(a−c) (1)
b^2=c^2+2ab−2ac−2bc+b^2=(b−c)^2+2a(b−c) (2)
Từ (1) và (2) -> \(\frac{\text{a^2+(a−c)^2}}{\text{b^2+(b−c)^2}}=\frac{\text{(a−c)^2+2b(a−c)+(a−c)^2}}{\text{(b−c)^2+2a(b−c)+(b−c)^2}}=\frac{\text{2(a−c)^2+2b(a−c)}}{\text{2(b−c)^2+2a(b−c)}}=\frac{\text{2(a−c)(a−c+b)}}{\text{2(b−c)(b−c+a)}}=\frac{a-c}{b-c}\)
(a+b+c)2=a2+b2+c2
=>2(ab+bc+ac)=0
=>ab+bc+ac=0
=> bc=-ab-ac
=>\(\frac{a^2}{a^2+2bc}=\frac{a^2}{a^2-ac-ab+bc}\)=\(\frac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
Tuong tu => \(\frac{b^2}{b^2+2ac}=....\)
\(\frac{c^2}{c^2+2ab}=...\)
=> \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+....\)=\(\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)+...
=\(\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
=1
\(a^3+2b^3+c^3\ge b^2\left(a+c\right)+b\left(a^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+2b^3+c^3-b^2\left(a+c\right)-b\left(a^2+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3-b^2a-ab^2\right)+\left(c^3+b^3-b^2c-bc^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\)( đúng )
Vậy ta có ĐPCM
Áp dụng BĐt Bunhiacopski dạng phân thức:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{a^2}{a^2+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" khi a = b = c