Question

[Diệp Nguyễn Thị Huyền]

Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1. Tìm GTLN của \(P=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\)

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(P=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\)

Ta có: 

\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+1+a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right),\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)\)

Cộng lại vế với vế ta được: 

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu \(=\)khi \(a=b=c=1\).