Question

[Lê Thị Thế Ngọc]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:ab+bc+ca=2abc.CMR:\(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}\)≥\(\frac{1}{2}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(ab+bc+ca=2abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(P=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge\frac{2x-1}{2}\) \(\forall x:0< x< 2\)

\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}\ge\frac{2y-1}{2}\) ; \(\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge\frac{2z-1}{2}\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{2}=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)