Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+bc+ac\right)\left(b^2+ab+bc+ac\right)}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=a+b\) là 1 số hữu tỉ
=> M là 1 số hữu tỉ (đpcm)
Đặt \(\left(b+c,c+a,a+b\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)thì \(x,y,z>0\)và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{25\left(z+x-y\right)}{2y}+\frac{4\left(x+y-z\right)}{2z}>2\)
Xét \(VT=\left(\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{25x}{2y}-\frac{25}{2}\right)+\left(\frac{2x}{z}+\frac{2y}{z}-2\right)\)\(=\left(\frac{y}{2x}+\frac{25x}{2y}\right)+\left(\frac{25z}{2y}+\frac{2y}{z}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{2x}{z}\right)-15\)\(\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{25x}{2y}}+2\sqrt{\frac{25z}{2y}.\frac{2y}{z}}+2\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{2x}{z}}-15=2\)(BĐT Cauchy)
Đẳng thức xảy ra khi \(10x=2y=5z\)hay \(10\left(b+c\right)=2\left(c+a\right)=5\left(a+b\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10b+8c=2a\\5b+10c=5a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a=10b+8c\\2a=2b+4c\end{cases}}\Leftrightarrow8b+4c=0\)(Vô lí vì 8b + 4c > 0 với mọi b,c dương)
Vậy dấu bằng không xảy ra
cac cap tam giac co dien h bang nhau la AOB va BOC. Vi co cap song song voi nhau va cat toi diem O
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)
- Chứng minh A chia hết cho 2:
+) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2
+) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2
- Chứng minh A chia hết cho 3:
+) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
+) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:
+) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5
+) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5
Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7
\(Q=\frac{a}{b+2020-a}+\frac{b}{c+2020-b}+\frac{c}{a+2020-c}\)
\(Q=\frac{a}{b+a+b+c-a}+\frac{b}{c+a+b+c-b}+\frac{c}{a+a+b+c-c}\)
\(Q=\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(Q=\frac{a^2}{a\cdot\left(2b+c\right)}+\frac{b^2}{b\cdot\left(2c+a\right)}+\frac{c^2}{c\cdot\left(2a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}{3\cdot\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2020}{3}\)
2020a hay là 2020-a vậy???