Question

[tth_new]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge a+b+c\)

P/s: Bunhiacopxki hay sos gì cũng được:D nhưng dùng Bunhiacopxki ngắn gọn hơn nhiều :) tầm 2 đến 3 dòng thôi :)

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Ánh]

dễ mà áp dụng bunhia ta có \(a+b\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right).\left(1^2+1^2\right)}\\ \)

=> \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)=> \(\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{a+b}{2}\)

cmtt => đpcm

Answer 2

[shitbo]

Xét: a²-2ab+b²=(a-b)² lớn hơn hoặc bằng 0

=> a²+b² lớn hơn hoặc bằng 2ab

=> 2(a²+b²) lớn hơn hoặc bằng (a+b)²

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{a+b}+\frac{\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}{b+c}+\frac{\frac{\left(c+a\right)^2}{2}}{c+a}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\left(đpcm\right)\)