Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le1\Leftrightarrow abc\le1\)(bđt AM-GM)
Khi đó \(P=2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(=2\left(\frac{abc}{c}+\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}\right)-1=2\left[abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]-1\)
\(=2abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1=2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}-1=\frac{2.9}{3}-1=5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của \(P=5\)đạt được khi \(a=b=c=1\)
p/s : nói chung hướng làm là vậy thôi :v chứ minh làm sai chỗ nào rồi ý
Ta có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a^2+ab+ca=a\)
Thay vào ta có: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng Cauchy ngược: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+ca+bc}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\)
Tương tự ta CM được: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{b+a}}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{a}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)+\left(\frac{b}{c+b}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{a}{b+a}+\frac{b}{a+b}\right)}{2}\)
\(=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(Max_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có :
\(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+ac+c^2+ab=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự : \(a+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right);c+ab=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT cauchy :
\(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
Cộng vế với vế :
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô si 3 số không âm
Ta có: \(\frac{a^2}{^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{b^3}}=\frac{3}{b}\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{3}{b}\)
\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=1\)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}}=2\sqrt{1}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab=0\)
1) Anh phương làm lạ zậy?
Đặt \(x=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\) (do a.b > 0 nên ta không cần viết 2|ab| thay cho 2ab)
Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+\frac{1}{x}\) (với \(x\ge2\))
Ta có: \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}+\frac{3x}{4}\ge1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}\)
Vậy P min là 5/2 khi x = 2
#)Góp ý :
Nói dễ hiểu nhé : vì abc = 1 nên sẽ xảy ra các trường hợp sau :
TH1 : a = b = c = 1
TH2 : a = b = -1 ; c = 1
TH3 : b = c = -1 ; a = 1
TH4 : a = c = -1 ; b = 1
Đó là theo cách hiểu của mình, thế nào cg trúng 1 trong 4 TH trên
Sai rồi nhé T.Ps
Lỡ như \(a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{3};c=9\) thì sao ?