Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\\b+c-a>0\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\) (đpcm)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}}\)
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow A\ge3."="\Leftrightarrow a=b=c\)
Đặt A là biểu thức ở vế trái
Theo bất đẳng thức tam giác: \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\left(x;y;z>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}}\)
Khi đó: \(A=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\)
\(=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
BN có thể giải thích cho mk vì sao \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)
đc ko ?
#)Giải :
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\\\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\\\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^3\le a^2\end{cases}}\)
Nhân từng vế ba bđt trên ta được :
\(\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Hay \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)
Xảy ra khi a = b = c
áp dụng bdt cosi cho 2 số dương ta có :
\(\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\right]^2\ge4\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow c^2\ge\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)(1)
tương tự ta có: \(a^2\ge\left(b+a-c\right)\left(c+a-b\right)\)(2)
\(b^2\ge\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)\)(3)
từ (1) (2) (3) suy ra dpcm
vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác áp dụng bđt tam giác ta có\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\\a+c>b\Rightarrow a+c-b>0\\b+c>a\Rightarrow b+c-a>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b-c};\sqrt{a+c-b};\sqrt{b+c-a}\)luôn được xác định\(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)>=0\Rightarrow a+b-c-2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}+a+c-b\)\(>=0\Rightarrow a+b-c+a+c-b>=2\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\Rightarrow\frac{a+b-c+a+c-b}{2}=\frac{2a}{2}\)
\(=a>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}\)
tương tự ta có :\(b>=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)};c>=\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)
\(\Rightarrow abc>=\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(a+c-b\right)^2\left(b+c-a\right)^2}=\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
dòng 3 là vì \(\left(\sqrt{a+b-c}-\sqrt{a+c-b}\right)^2>=0\)nhá
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a,b,c là 3 số dương
À mà bạn biết tính chất này chứ a/(a+b+c)<a/(b+c) (Cộng vào mẫu a dương nên nhỏ hơn)
a/(b+c)<(a+a)/(a+b+c)=2a/(a+b+c) (Cộng cả tử với mẫu với a)
=> Ta có: a/(a+b+c)<a/(b+c)<2a/(a+b+c) (1)
Tương tự với b: b/(a+b+c)<b/(a+c)<2b/(a+b+c) (2)
Tương tự với c: c/(a+b+c)<c/(a+b)<2c/(a+b+c) (3)
Cộng (1) với (2) và (3) ta được đpcm
1< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) <2
mình lớp 5 mong bạn thông cảm và
Ta có (x+y)2>0 <=>x2+y2>2xy
=>x2+2xy+y2>4xy
=>4xy<(x+y)2
=>xy<(x+y)2/4
Theo BDT tam giác ta có : a+b-c>0;b+c-a>0
Áp dụng BDT trên ta dc :
(a+b-c)(b+c-a)<(a+b-c+b+c-a)2/4=4b2/4=b2
(a+b-c)(c+a-b)<(a+b+c+a-b)2/4=a2
(b+c-a)(c+a-b)<(b+c-a+c+a-b)2/4=c2
=>(a+b-c)2(b+c-a)2(a+c-b)2=a2+b2+c2
=>abc> (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (dpcm)