Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 > 0
oh my dog toán lớp 8 đây á
mik làm đc hình như mỗi câu a thôi thì phải
Lời giải:
Xét:
\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=(a^4+b^4+2a^2b^2)+c^4-2c^2(b^2+a^2)-4a^2b^2\)
\(=(a^2+b^2)^2+(c^2)^2-2c^2(a^2+b^2)-(2ab)^2\)
\(=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)\)
\(=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]\)
\(=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c-a,a-b+c,a+b-c>0$ theo BĐT tam giác. Mặt khác hiển nhiên $a+b+c>0$
Do đó:
\(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)>0\)
Ta có đpcm.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\)
BĐT\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4>\left(\frac{x+y}{2}\right)^4+\left(\frac{y+z}{2}\right)^4+\left(\frac{z+x}{2}\right)^4\)
\(\Leftrightarrow16\left(x^4+y^4+z^4\right)>x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4+y^4+4y^3z+6y^2z^2+4yz^3+z^4+z^4+z^3x+z^2x^2+zx^3+x^4\)
\(\Leftrightarrow14\left(x^4+y^4+z^4\right)-4\left(x^3y+xy^3+y^3z+yz^3+z^3x+zx^3\right)-6\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)>0\)