Câu hỏi của Thánh cao su

Question

Cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 6

CMR: $3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$

$(a+b-c)(c+a-b)\leq \left(\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2$

$(b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2$

Nhân theo vế và rút gọn :

$\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

$\Leftrightarrow (6-2c)(6-2a)(6-2b)\leq abc$ (do $a+b+c=6$)

$\Leftrightarrow 8[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\leq abc$

$\Leftrightarrow 8(-27+3(ab+bc+ac)-abc)\leq abc$

$\Leftrightarrow abc\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ac)-24$

Do đó:

$3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)-48$

$=3(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-48=60-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)$

Mà theo hệ quả của BĐT AM-GM $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=12$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 60-\frac{2}{3}.12=52$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$Câu trả lời: Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
$(a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2$