Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm
Ta có :
\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)\(< \frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)\(< \frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}=\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)suy ra \(1< S< 2\)
Vậy \(S\)không là số tự nhiên
Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:
\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:
\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)
Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)
Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)
Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)
Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.
Đặt \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) ta có :
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)\(;\)\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\) và \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Suy ra \(M>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)\(;\)\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\) và \(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{a+c+a+b+b+c}{a+b+c}=2\)
Suy ra \(M< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(1< M< 2\)
Vậy \(M\) không là số nguyên
\(\text{Vì }a,b,c\inℕ^∗\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}\Rightarrow M>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1}\)(1)
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{c+a+b}\end{cases}}\Rightarrow M< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2) (chỉ áp dụng cho p/s có tử bé hơn mẫu)
từ (1) và (2) => 1<M<2 => M không phải là STN
\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Ta có
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c+a}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\)
\(\frac{ c}{c+a+b}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\)
\(\Rightarrow1< M< 2\Rightarrow\)M không phải là số tự nhiên