Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C O D E F
a
Ta có:
\(OA=AD-OD=\frac{2S_{ABC}}{BC}-\frac{2S_{BOC}}{BC}=\frac{2\left(S_{ABC}-S_{BOC}\right)}{BC}\)
\(OD=2S_{BOC}\Rightarrow\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\Rightarrow\frac{OA}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)
Tương tự
\(\frac{OB}{OE}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OD}+1=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT s-vác ta có:
\(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}+3\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}}=\frac{9S_{ABC}}{S_{ABC}}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_{OAB}=S_{OBC}=S_{COA}\Leftrightarrow O\) là trọng tâm của tam giác.
b
Em nghĩ đề là \(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge8\)
Nếu vậy thì e lm như sau:
Ta có:\(\frac{OA}{OD}=\frac{S_{ABC}-S_{BOC}}{S_{BOC}}=\frac{S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{BOC}}\)
Tương tự ta có:\(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BOA}+S_{BOC}}{S_{COA}};\frac{OC}{OF}=\frac{S_{COA}+S_{COB}}{S_{BOA}}\)
Đặt \(\left(S_{COA};S_{BOA};S_{BOC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)
Ta có:
\(\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}\)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(S_1+S_2\ge2\sqrt{S_1\cdot S_2};S_2+S_3\ge2\sqrt{S_2\cdot S_3};S_3+S_1\ge2\sqrt{S_3\cdot S_1}\)
\(\Rightarrow\frac{OA}{OD}\cdot\frac{OB}{OE}\cdot\frac{OC}{OF}\ge\frac{8\cdot S_1\cdot S_2\cdot S_3}{S_1\cdot S_2\cdot S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra tại \(S_1=S_2=S_3\Leftrightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC.
Câu a. Dòng đầu tiên là nhầm rồi Huy. AD đâu phải đường cao đâu thế tại sao: \(AD=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}\)???
Bài này có thể giải:
a.
Có: \(\frac{OA}{OD}=\frac{AD-OD}{OD}=\frac{AD}{OD}-1=\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta OBC}}-1\)
Tương tự: \(\frac{OB}{OE}=\frac{S_{BAC}}{S_{OAC}}-1\); \(\frac{OC}{OF}=\frac{S_{CAB}}{S_{OAB}}-1\)
=> \(\frac{OA}{OD}+\frac{OB}{OE}+\frac{OC}{OF}=\frac{S_{ABC}}{S_{OBC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{OAB}}-3\)
\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{OBC}}+\frac{1}{S_{OAC}}+\frac{1}{S_{OAB}}\right)-3\ge S_{ABC}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{S_{OBC}+S_{OAC}+S_{OAB}}-3=\frac{S_{ABC}.9}{S_{ABC}}-3=6\)
"=" xảy ra <=> O là trọng tâm
b. Làm đúng rồi.
1) Ta có: \(\frac{CE}{EA}=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{EA}{CE}=\frac{5}{2}\Rightarrow\frac{EA}{CE+EA}=\frac{5}{2+5}\Rightarrow\frac{EA}{AC}=\frac{5}{7}\); \(\frac{AF}{FB}=\frac{2}{5}\Rightarrow\frac{AF}{AF+FB}=\frac{2}{2+5}\Rightarrow\frac{AF}{AB}=\frac{2}{7}\)
\(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S_{AFC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow S_{AEF}=\frac{5}{7}S_{AFC}\)và \(\frac{S_{AFC}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{7}\Rightarrow S_{AFC}=\frac{2}{7}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{AEF}=\frac{5}{7}.\frac{2}{7}S_{ABC}=\frac{10}{49}S_{ABC}\)
Tương tự, ta có: \(S_{DEC}=\frac{10}{49}S_{ABC}\); \(S_{DFB}=\frac{10}{49}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{DEC}-S_{DFB}=S_{ABC}-\frac{30}{49}S_{ABC}=\frac{19}{49}S_{ABC}\)
2) Gọi N là trung điểm của DM
Kẻ \(EM//AB\left(M\in BC\right)\), gọi O là giao điểm của AM và EF, khi đó \(\frac{EM}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{MC}{BC}\)(Thales)
Mặt khác từ giả thiết suy ra \(\frac{BD}{BC}=\frac{CE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)
Từ đó ta có được BD = MC, EM = AF
EM = AF và EM // AF nên tứ giác AFME là hình bình hành => O là trung điểm của EF và AM
Ta có: \(\hept{\begin{cases}BD=MC\left(cmt\right)\\DN=MN\end{cases}}\Rightarrow BN=NC\)
Tam giác ADM có hai trung tuyến AN và DO cắt nhau tại G nên G là trọng tâm => G thuộc AN và \(AG=\frac{2}{3}AN\), G thuộc DO và \(DG=\frac{2}{3}DO\)
\(\Delta ABC\)có G thuộc trung tuyến AN và \(AG=\frac{2}{3}AN\)nên G là trọng tâm của tam giác (1)
\(\Delta DEF\)có G thuộc trung tuyến DO và \(DG=\frac{2}{3}DO\) nên G là trọng tâm của tam giác (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác ABC, DEF có cùng trọng tâm G (đpcm)
Kẻ OM vuông góc với BC, kẻ AI vuông góc với BC
\(\Rightarrow\)OM//AI
Xét tam giác AA'I có OM//AI(cmt)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OM}{AI}=\frac{OA'}{AA'}\)(Theo hệ quả Ta-lét)
\(\Rightarrow\)\(\frac{OA'}{AA'}=\frac{\frac{1}{2}.OM.BC}{\frac{1}{2}.AI.BC}=\frac{S_{BDC}}{S_{ABC}}\)
Tương tự, ta có \(\frac{DB'}{BB'}=\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{DC'}{CC'}=\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\Rightarrow\)đ/cm
b) C/m: \(\Delta ABC\sim\Delta DAC\left(g.g\right)\Rightarrow AC^2=DC.BC\left(1\right)\)
\(\Delta ABC\sim\Delta DBA\left(g.g\right)\Rightarrow AB^2=BD.BC\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{AC^2}{AB^2}=\frac{DC.BC}{BD.BC}=\frac{DC}{BD}\Rightarrow\frac{AC^4}{AB^4}=\frac{DC^2}{BD^2}\left(5\right)\)
C/m: \(\Delta DAC\sim\Delta EDC\left(g.g\right)\Rightarrow DC^2=CE.AC\left(3\right)\)
\(\Delta DBA\sim\Delta FBD\left(g.g\right)\Rightarrow BD^2=BF.AB\left(4\right)\)
\(\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\frac{DC^2}{BD^2}=\frac{CE.AC}{BF.AB}\left(6\right)\)
\(\left(5\right)\left(6\right)\Rightarrow\frac{AC^4}{AB^4}=\frac{CE.AC}{BF.AB}\Rightarrow\frac{AC^3}{AB^3}=\frac{CE}{BF}\Rightarrowđpcm\)
a) + ∆ABO có IM // AO
⇒ OB/IB = AO/IM (1)
+ ∆IDP có AO // IP
⇒ ID/OD = IP/OA (2)
Nhân (1) với (2), ta được :
OB/IB . ID/OD = AO/IM . IP/OA ⇔ ID/IB . OB/OD = IP/IM (ĐPCM)
b) + ∆OBC có IN // OC
⇒ BO/IB = OC/IN (3)
+ ∆DQI có OC // IQ ⇒ ID/OD = IQ/OC (4)
Nhân (3) với (4) , ta được :
BO/IB . ID/OD = OC/IN . IQ/OC ⇔ ID/IB . OB/OD = IQ/IN (5)
+ Theo câu a) , ta có : ID/IB . OB/OD = IP/IM (6)
Từ (5) và (6) suy ra : IP/IM = IQ/IN (dpcm)
a) \(\Delta\)AOB có: MI //AO \(\Rightarrow\frac{MI}{AO}=\frac{IB}{OB}\)
\(\Delta\)DPI có: AO//IP
\(\Rightarrow\frac{OA}{IP}=\frac{OD}{ID}\)
\(\Rightarrow\frac{MI}{AO}\cdot\frac{AO}{IP}=\frac{IB}{BO}\cdot\frac{OD}{IID}\)
\(\Rightarrow\frac{MI}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)
b) \(\Delta DIQ\)có: OC // IQ \(\Rightarrow\frac{OC}{IQ}=\frac{OD}{ID}\left(1\right)\)
\(\Delta BOC\)có: IN//OC \(\Rightarrow\frac{IN}{DC}=\frac{BI}{BD}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{OC}{IQ}=\frac{IN}{OC}=\frac{OD}{ID}\cdot\frac{BI}{BO}\\\frac{IN}{IQ}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\end{cases}}\)
Theo câu (a) có: \(\frac{IM}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)
\(\Rightarrow\frac{IM}{IP}=\frac{IN}{IQ}\left(đpcm\right)\)
Câu 1
a, Vì tứ giác ABCD là hình thang
⇒ AB // CD
ΔCOD có AB // CD
⇒ ΔAOB ~ ΔCOD
⇒ \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\)(đpcm)
b, Vì AB // CD ⇒ AM // CN
ΔCON có AM // CN
⇒ ΔAOM ~ ΔCON
⇒ \(\frac{OA}{OC}=\frac{OM}{ON}\)
mà \(\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}\)(câu a)
⇒ \(\frac{OM}{ON}=\frac{AB}{CD}\)
⇒ \(\frac{OM}{AB}=\frac{ON}{CD}\) (đpcm)
Câu 2
a, Vì ΔABC vuông tại A
⇒ \(\widehat{BAC}=90^0\)
Vì AH là đường cao của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
⇒ \(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^0\)
ΔABC và ΔHBA có
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}=\widehat{H_1}=90^0\\\widehat{ABC}chung\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g.g)
⇒ \(\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{AB}\) (1)
⇒ AB2 = BH . BC (đpcm)
b, ΔABC có BF là đường phân giác
⇒ \(\frac{BC}{AB}=\frac{FC}{FA}\) (2)
ΔABH có HE là đường phân giác
⇒ \(\frac{AB}{HB}=\frac{AE}{EH}\)(3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\frac{AE}{EH}=\frac{FC}{FA}\)
⇒ \(\frac{EH}{EA}=\frac{FA}{FC}\) (đpcm)
Chúc b
ạn học tốt !!
a) Tam giác ABC đều => Kẻ AH vuông góc với BC thì H là trung điểm của BC => BH = BC/2 = a/2
Tính được AH theo định lý Pytago: AH = a3√2a32
=> Diện tích của tam giác ABC là: 12.a3√2.a=a23√412.a32.a=a234
b) Xét các cặp tam giác bằng nhau dựa trên tam giác ABC đều vào tỉ số đề bài cho (CGC) em sẽ => Tam giác DEF có 3 cạnh bằng nhau => tam giác đều
c) Tam giác DEF và tam giác ABC đồng dạng
=> SDEF/SABC = (DE/AB)2