Question

[khoimzx]

cho a,b,c dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Chứng minh rằng : \(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\ge1\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b+2}{9}\geq \frac{2}{3}a^2\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế ta có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)-\frac{a+b+c+6}{9}=2-\frac{a+b+c+6}{9}(1)\)

Cũng theo hệ thức quen thuộc của BĐT AM-GM:

$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 9\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\leq 3(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{a^4}{b+2}+\frac{b^4}{c+2}+\frac{c^4}{a+2}\geq 2-\frac{3+6}{9}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$