Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c\right)^2\le9ab\\\left(a+b+c\right)^2\le9bc\\\left(a+b+c\right)^2\le9ca\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) trái với giả thiết a;b;c đôi một khác nhau
Vậy điều giả sử là sai hay tồn tại một trong 3 số nhỏ hơn \(\left(a+b+c\right)^2\)
Bài 5:
Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)
Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :
\(x_2\ge x_1+1\)
\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)
\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)
\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)
\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)
\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)
Do x1 là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)
Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Mình hướng dẫn nhé : Phân tích \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
Từ đó suy ra đpcm
\(b^2\left(a+c\right)=a^2\left(b+c\right)=2013\)nên \(a^2b+a^2c-b^2a-b^2c=0\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+ca+bc\right)=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\) vì \(a\ne b\ne c\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)b=0\Leftrightarrow b^2\left(a+c\right)=-abc\)nên \(-abc=2013\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)c=0\Leftrightarrow c^2\left(a+b\right)=-abc=2013\)
Có gì sai sót xin lượng thứ nha