Question

[Trần Vy]

Cho ∆ABC ( AB < AC ). Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại E,D. Gọi H là giao điểm của BD và CE .

a) CM : AE. AB = AD.AC

b) Tia AH cắt BC tại F. Cm : AF vuông góc với BC và tứ giác BEHF nội tiếp.

c) Cm : tứ giác OFED nội tiếp.

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

a) Xét tam giác AEC và tam giác ADB

có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\)

\(\widehat{EAC}=\widehat{DAB}\)( đối đỉnh)

=> \(\Delta AEC~\Delta ADB\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)

b) Xét tam giác HCB có hai đường cao CD và BE cắt nhau tại A 

=> A là trực tâm tam giác ACB

=> HA vuông BC

=> AF vuông BC

Xét tứ giác BFEH có:

\(\widehat{BFH}=\widehat{HEB}=90^o\)

=> BFEH nội tiếp

c) Ta có: \(\widehat{EOC}=2\widehat{EBC}\)( góc ở tâm có độ lớn gấp 2 lần góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Xét tứ giác ADBF có: \(\widehat{ADB}+\widehat{AFB}=90^o+90^o=180^o\)

=> ADBF nội tiếp 

=> \(\widehat{ABF}=\widehat{ADF}\)( cùng chắn cung AF) hay \(\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

Mặt khác \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)( cùng chắn cung EC)

=> \(\widehat{EOC}=2.\widehat{EBC}=\widehat{CDF}+\widehat{EDC}=\widehat{EDF}\)

=> \(\widehat{FOE}+\widehat{FDE}=\widehat{FOE}+\widehat{EOC}=180^o\)( hai góc bù nhau)

=> Tứ giác DEOF nội tiếp