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Từ giả thiết suy ra \(3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=9\to a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le3.\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta có \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^3+3}}\ge\frac{4a^4}{a^2b^2+3a^2+4}+\frac{4b^4}{b^2c^2+3b^2+4}+\frac{4c^4}{c^2a^2+3c^2+4}\)
\(\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+12}\ge\frac{4\times3^2}{3+3\cdot3+12}=\frac{3}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\to\) giá trị bé nhất của P là \(\frac{3}{2}.\)
- bạn ghi rõ cái phần bất đẳng thức cauchy đc ko mk ko hiểu
a: \(A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+4}{x-4}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\left(1-\dfrac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{-\sqrt{x}-3}\)
\(=-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\)
b: Để A là số nguyên thì \(\sqrt{x}-2\inƯ\left(-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
hay \(x\in\left\{1;16;0\right\}\)
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) căn 6 - căn 2 >1
b) căn 5 - căn 3>1/2
c) căn 7 - căn 6 < căn 6 - căn 5
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