Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=\left(\frac{a}{a^2b^2+a^2+1}\right)^2+\left(\frac{b}{b^2c^2+b^2+1}\right)^2+\left(\frac{c}{c^2a^2+c^2+1}\right)^2\)
Cần cm : \(B=\frac{1}{a^2b^2+a^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{a^2c^2+c^2+1}=1\)
\(B=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+a^2+a^2b^2c^2}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{a^2b^2c^2}{a^2c^2+a^2b^2c^3+a^2b^2c^2}\) (Do \(abc=1\))
\(=\frac{b^2c^2}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{b^2}{b^2c^2+b^2+1}=\frac{b^2c^2+b^2+1}{b^2c^2+b^2+1}=1\)(đúng)
Ta có : \(A=\frac{\frac{1}{\left(a^2b^2+a^2+1\right)^2}}{a^2}+\frac{\frac{1}{\left(b^2c^2+b^2+1\right)^2}}{b^2}+\frac{\frac{1}{\left(c^2a^2+c^2+1\right)^2}}{c^2}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2b^2+a^2+1}+\frac{1}{b^2c^2+b^2+1}+\frac{1}{a^2c^2+c^2+1}\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{B^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
phân thức thức thứ 3 dòng thứ 3 ở mẫu là \(a^2c^2+a^2b^2c^4+a^2b^2c^2\)chứ bạn nhỉ????
Đề sao rồi bạn ơi, phải là \(\le\) mới đúng. Bài này ta làm như sau:
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
CMTT, ta được:
\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)
\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ca+a+1\right)\)
Do đó ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\left(1\right)\)
Chú ý rằng \(abc=1\) nên ta dễ dàng CM được:
\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có đpcm.
Nếu không cho abc=1; a,b,c >0 và BĐT >=1 thì mình xong lâu rồi. Khó phết
Theo bài ra ta có : \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(\frac{a}{ab+a+1}=\frac{a}{ab+a+abc}\left(1=abc\right)=\frac{1}{b+1+bc}\)(chia cả tử lẫn mẫu cho a) (1)
\(\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{1+bc+b}\)(Nhân cả tử lẫn mẫu cho b) (2)
Do đó ta có :
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{1+bc+b}=\frac{1+bc+b}{bc+b+1}=1\)(đpcm)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Leftrightarrow2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}=1\Leftrightarrow a+b+c=abc\left(đpcm\right)\)
\(abc=1\Rightarrow\left(abc\right)^2=a^2b^2c^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}=\frac{\left(ca\right)^2}{bc+ba};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\)
=> \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc+ca+ab+ca+ab+bc}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Tiếp tục áp dụng bđt Cauchy với 3 số dương ta được: \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{1}}{2}=\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(a;b;c\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+1\ge a^2+1\\b^3+1\ge b^2+1\\c^3+1\ge c^2+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Sử dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) với \(xy\ge1\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^3}}\ge\frac{4}{1+abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) (1) với a; b \(\ge\)1
Thật vậy:
(1) <=> \(\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
<=> \(2+a^2+b^2+2ab+a^3b+ab^3\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
<=> \(a^3b+ab^3+2ab-a^2-b^2-2a^2b^2\ge0\)
<=> \(ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
<=> \(\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với a; b \(\ge\)1
Vậy (1) đúng
Áp dụng ta có:
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+ab}+\frac{2}{1+c\sqrt{abc}}\)
\(=2\left(\frac{1}{1+\left(\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\sqrt{c\sqrt{abc}}\right)^2}\right)\ge2.\frac{2}{1+\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt{abc}}}=\frac{4}{1+\sqrt{abc\sqrt{abc}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt{abc.abc}}=\frac{4}{1+abc}\)
=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Nhìn sơ qua hình như bài có thiếu đk gì đó...