PM
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 11 2021
\(1,yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)\cdot1}\le yz\cdot\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{xyz}{2}\)
\(zx\sqrt{y-2}=\dfrac{zx\cdot2\sqrt{2\left(y-2\right)}}{2\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\\ xy\sqrt{z-3}=\dfrac{xy\cdot2\sqrt{3\left(z-3\right)}}{2\sqrt{3}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow M\le\dfrac{\dfrac{xyz}{2}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}+\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}}{xyz}=\dfrac{xyz\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)}{xyz}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)
29 tháng 11 2021
\(2,N^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\\ \Leftrightarrow N^2\le\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\\ \Leftrightarrow N^2\le6\left(a+b+c\right)=6\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow N\le\sqrt{6\sqrt{2}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
Q
1
2 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(P^2=\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow P^2\le6\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow P^2\le18\Leftrightarrow P\le\sqrt{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{c+a}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ................................................
9 tháng 7 2019
Câu 1 : áp dụng BĐT SVAC ta có \(A\ge\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}}=\frac{1.\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2.}(\sqrt{b+c}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c})}\)
mặt khác lại có \(\frac{\sqrt{2a+2b+2c}}{\sqrt{2}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}\ge\frac{\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})^2}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}.(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c})}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)theo bđt svac
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\sqrt{6}}\)dấu bằng xảy ra tại a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
LD
2
KN
15 tháng 8 2020
Dự đoán biểu thực đạt Max bằng 5 khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị. Ta sẽ chứng minh đây là GTLN của biểu thức\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Ta có: \(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)\(=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}\) \(+c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
\(\le a.\frac{b^2+2}{2}+b.\frac{c^2+2}{2}+c.\frac{a^2+2}{2}=\frac{ab^2+bc^2+ca^2+6}{2}\)
Cần chứng minh \(ab^2+bc^2+ca^2\le4\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(c+a\right)^2\) \(=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2}\le4.\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3\) \(=\frac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}=4\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{2ab-ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{bc}};\sqrt{\dfrac{1}{c^2-ac+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
=>P<=1/a+1/b+1/c=3
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
10 tháng 3 2020
\(S=\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\)
\(S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\Sigma\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương, ta có:
\(\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{9}\left(a+b\right)}\)
Tương tự ta có:
\(3S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6\) với \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow S.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\le2\) \(\Leftrightarrow S\le\frac{2}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
Tương tự:
\(\sqrt[3]{b+c}\le\frac{\left(b+c\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{c+a}\le\frac{\left(c+a\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2\left(a+b+c\right)+4}{3}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{6}{3}=\sqrt[3]{18}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{2}{3}\\b+c=\frac{2}{3}\\c+a=\frac{2}{3}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
Em làm sai tại đây nhé:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{1}{3}.\left(a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)\)