L
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PV
19 tháng 2 2018
xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
12 tháng 3 2019
Đố tớ hả ? =( Buồn ghê =(
Áp dụng Cô-si cho high số được
\(\left(1+a^2+2bc\right)+4\ge2\sqrt{4\left(1+a^2+2bc\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+a^2+2bc}\le\frac{a^2+2bc+5}{4}\)
C/m tương tự rồi cộng lại đc
\(P\le\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+15}{4}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2+15}{4}=\frac{3^2+15}{4}=6\)
Dấu "=" khi a = b = c = 1
P/S: thôi ko muốn đấu với a lớp 9 đâu -.-
T
8 tháng 10 2019
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.
TN
2 tháng 7 2016
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
27 tháng 5 2018
1) Liên hợp hay bình phương gì gì cx được nếu bạn rảnh =))
2)Giải PT : $5^{x}= 3^{x}+ 4^{x}$ - Các bài toán và vấn đề về PT - HPT - BPT - Diễn đàn Toán học
27 tháng 5 2018
4) Câu hỏi của VanCan - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
29 tháng 5 2018
Ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+\left(a^2+b^2\right)\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Lại có: \(\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự cộng lại ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
đặt A=...
Áp dúng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(A^2\le3\left(1+a^2+2bc+1+b^2+2ac+1+c^2+2ab\right)=3\left[\left(a+b+c\right)^2+3\right]\)
=> \(A^2\le36\Rightarrow A\le6\) (ĐPCM)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1