Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a2+b2+c2=1
Tìm GTNN của C= \(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ac}{b}\)+\(\frac{ab}{c}\)
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
\(1=ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(P=\frac{1}{1-\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{1-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{1-\left(c+a\right)^2}\ge\frac{9}{3-\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]}\)
\(\ge\frac{9}{3-\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{3}}=\frac{9}{3-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge\frac{9}{3-\frac{4.\left(\sqrt{3}\right)^2}{3}}=\frac{9}{3-4}=\frac{9}{-1}=-9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc=1\)
\(P=\frac{1}{1-\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{1-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{1-\left(c+a\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{3-\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]}=\frac{9}{3-2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+ac+bc\right)}\)
\(\ge\frac{9}{3-2-2}=-9\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
ab + ac + bc =1 <=> 3a^2 = 1 <=> a^2 = 1/3 \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\) (Do a dương)
\(\Rightarrow b=c=a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+2\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\ge\frac{1}{2}\)
\(\left(ab+bc+ac\right)^2\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(abbc+bcac+abac\right)\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{4}\)
Đến đây bạn tự làm tiếp nha
ta có A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
ta có \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+...=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\frac{2}{3}}{2ab}+...\ge\frac{\left(1+3.\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=....\)
đến đây thì dễ rồi, cái kia cũng svacxơ và chú ý ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3
mượn chỗ nhok chút!
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
mà \(\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2\left(x^2-2xy+y^2+5x-3y+4\right)}\)
=\(\sqrt{2\left(x-y+2\right)^2+2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
=>VT<=VP
dấu = xảy ra <=> y=x+2
với x=y-2, thay vào A, ta có
A=\(x^4+\left(x+2\right)^2-5\left(x+x+2\right)+2020=x^4+x^2+4x+4-10x-10+2020\)
=\(x^4+x^2-6x+2014=x^4-2x^2+1+3\left(x^2-2x+1\right)+2010\)
=\(\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
dấu = xảy ra <=> x=1 và y=3