Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(a+b+c=1\Rightarrow2a+2b+2c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)
Ta có: \(\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
Tương tự ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}+\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c\\y=a+c\\z=a+b\end{cases}}\) thì BĐT cần chứng minh là:
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge2\forall\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2x\\\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge2y\\\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}\ge2z\end{cases}}\)
Cộng theo vế rồi thu gọn ta có:\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\ge2\)
BĐT được chứng minh nên BĐT đầu cũng đã được chứng minh
Vì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)
Suy ra \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow b+c=2a;a+c=2b;a+b=2c\)
Bằng cách rút \(b\) từ đẳng thức thứ nhất thay vào đẳng thức thứ hai ta đễ dàng suy ra được \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)
cáh khác nè:từ
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}=\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\frac{aa+aa+aa}{a^2+a^2+a^2}=1\)
bạn dưới làm sai rồi
P=1 MỚI ĐÚNG
Áp dụng BĐT cho 2 số dương:
\(\frac{1}{\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Xét: c + 1 = c + a + b + c
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}\le\frac{ab}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\left(a+1\right)}\le\frac{bc}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+a\right)}\right]\)
\(\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{ac}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+b\right)}+\frac{1}{\left(c+b\right)}\right]\)
Cộng lại:
\(\frac{ac}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{1}{4}\left\{\frac{ab}{\left(a+c\right)}+\frac{ab}{\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)}\right\}\)
Cộng lại + rút gọn mẫu số
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi a = b = c
P/s: Sai đâu bạn sửa nhé!
Cho a,b,c khác 0 và thỏa mãn ab+bc+ca=0
Hãy tính : \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
\(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)(vì \(a,b,c\ne0\))
Ta có hằng đẳng thức: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
nên \(x+y+z=0\)thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=3\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3\)
Từ giả thiết suy ra \(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)(vì a,b,c khác 0)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=1\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{abc^2}}=\frac{2}{c}\)
Tương tự: \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Đề bài không đúng
Xét \(P=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)^2\)
\(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2\sqrt{b^4}=2b^2\)
Tương tự, ta có: \(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\ge a^2+b^2+c^2+6=9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
\(\text{Theo bài ra ta có: }ab+bc+ca=0\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(...\right)+\frac{3}{abc}\text{(Nếu lm thi thì phải chứng minh công thức này!!)}\)
\(\text{Mà }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\text{ nên }\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{3abc}{abc}=3\text{ }\left(\text{Nhân cả 2 vế với abc}\right)\)
Vậy B=3
Ta có :
\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{bc+ca+ab}{a^2+b^2+c^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)
Vậy \(B=0\)
mik ví dụ 1 biểu thức nha
a(a+b+c)+bc/b+c=a^2+ab+ac+bc/b+c=(a+c)(a+b)/b+c
tương tự với mấy biểu thức còn lại
cái bài này mik làm rồi mà giờ ko nhớ nữa