Question

[Nhật Hoàng]

Cho a,b,c >0 thỏa a + b + c =1.

CMR: \(a^4+b^4+c^4\ge\frac{1}{27}\)

Answer 1

[Lightning Farron]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(Gt\Rightarrow a+b+c=1\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{1}{27}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\b^4+c^4\ge2b^2c^2\\c^4+a^4\ge2c^2a^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế rồi thu gọn ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\left(1\right)\)

Sử dụng AM-GM lần nữa:

\(\left\{\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2\sqrt{a^2c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\\c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:

\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{27}\)\(\left(\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\abc\ge\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có được ĐPCM

Answer 2

[soyeon_Tiểubàng giải]

Áp dụng bđt a² + b² + c² \(\ge\) ab + bc + ca ta co:

3(a² + b² + c²) \(\ge\) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² = 1

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{3}=\frac{1}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c