Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cách 1:
áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{a.b}\)(1)
\(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{c}{2}}=\sqrt{b.c}\)(2)
\(\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\frac{a}{2}}=\sqrt{c.a}\)(3)
cộng 2 vế (1);(2) và (3) ta được:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)(điều phải chứng minh)
áp dụng BĐT Cô - si ta được:
\(a+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}\)(1)
\(b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{b}\)(2)
Công hai vế (1) và (2) ta được:
\(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(điều phải chứng minh)
Dấu"=" xảy ra khi a=b
(a-b)^2>=0
<=>a^2+b^2>=2ab
<=>(a+b)^2>=4ab
<=>a+b>=2Căn(ab)
Cmtt:b+c,c+a
rùi + vào
Bài 1 :
a) \(P=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}\)
\(P=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+1}{x}\)
b) \(P>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{x}>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{x}-\frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1-2x}{x}>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2x+1>0\left(x>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+x^2-2x+1-x^2>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+x^2+\left(x-1\right)^2>0\left(\forall x>0\right)\)
Vậy P > 1/2 với mọi x> 0 ; x khác 1
Bài 2 :
a) \(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}+a}+\frac{2}{a-1}\right)\)
\(K=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{2}{a-1}\right)\)
\(K=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{a-1+2\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(K=\frac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{a-1+2a+2\sqrt{a}}\)
\(K=\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+2\sqrt{a}-1}\)
b) \(a=3+2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)( thỏa mãn ĐKXĐ )
Thay a vào biểu thức K , ta có :
\(K=\frac{\left(3+2\sqrt{2}-1\right)^2}{3\left(3+2\sqrt{2}\right)+2\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}-1}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{9+6\sqrt{2}+2\left|\sqrt{2}+1\right|-1}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{8+6\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}\)
\(K=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)^2}{10+8\sqrt{2}}\)
Bài toán này sai đề. Ví dụ chọn \(a-c=b=2,c=1\) thì vế trái bằng \(\sqrt{6}+1\), vế phải là \(\sqrt{6}\).
áp dung bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\sqrt{\frac{a.b}{4}}=2.\frac{\sqrt{a.b}}{2}=\sqrt{a.b}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a.b}\)
(a-b)2>=0 voi moi a,b
=>a2+b2>=2ab voi moi a,b
=>a2+2ab+b2>=4ab voi moi a,b
=>(a+b)2>=2.(can ab) voi moi a,b>=0
=>a+b/2>=(can ab) voi moi a,b>=0