NV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HP
5 tháng 9 2021
Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)
\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)
\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)
Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)
\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)
\(\Rightarrow ax\ge1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)
Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).
14 tháng 9 2020
Với a,b > = 0 và a + b = a2b2
Ta có:
\(VT=\sqrt{a+b+4\sqrt{a+b+2ab+1}}=\sqrt{a^2b^2+4\sqrt{a^2b^2+2ab+1}}\)
\(=\sqrt{a^2b^2+4\sqrt{\left(ab+1\right)^2}}=\sqrt{a^2b^2+4\left(ab+1\right)}\)
\(=\sqrt{a^2b^2+4ab+4}=\sqrt{\left(ab+2\right)^2}=ab+2=VP\)
=> đpcm
PT
1
CM
29 tháng 3 2018
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( 1 + a ) ( 1 + b ) ≥ 1 + a b 2 ⇔ 1 + a + b + a b ≥ 1 + 2 a b + a b ⇔ a + b − 2 a b ≥ 0 ⇔ a - b 2 ≥ 0
(luôn đúng với mọi a, b > 0)
29 tháng 10 2020
VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)
áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)
Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)
dấu bằng xảy ra <> a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
Đặt vế trái của BĐT là P:
\(P=\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\sqrt{2b.\left(a+1\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(a+2+b+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(2b+a+1\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(2a+3b+5\right)=\dfrac{1}{2}.2024=1012\)
Dấu "=" không xảy ra
31 tháng 7 2021
Áp dụng bđt Cô-si ta có:
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{ab}}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{ab}}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le2\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\)'
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt{\sqrt{ab}}\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b
C6. Cho các số thực dương thoả mãn: ab+1 nhỏ hơn hoặc bằng b Chứng minh rằng : ( a + (1/a^2) ) + ( b^2 + (1/b) ) lớn hơn hoặc bằng 9
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)