TL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
8 tháng 8 2017
a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
Khi a=b
VT
2
S
19 tháng 1 2019
Ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^3-a^3}{a^2}+\frac{a^3-b^3}{b^2}+\frac{b^3-c^3}{c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
Dễ thấy: mẫu dương nên:
\(\frac{c^5b^2-a^3b^2c^2+a^5c^2-b^3a^2c^2+b^5a^2-c^3a^2b^2}{a^2b^2c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2+c^5b^2+a^5c^2+b^5a^2-2a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\ge0\)
Chưa nghĩ ra tiếp :v
19 tháng 1 2019
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b^2}+a\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}+b\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}+c\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\sqrt{\frac{a^3.a}{b^2}}+2.\sqrt{\frac{b^3.b}{c^2}}+2.\sqrt{\frac{c^3.c}{a^2}}-a-b-c\)\(=2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}-a-b-c\ge2.\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-a-b-c\)\(\ge2\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\right]-a-b-c=2\left(a+b+c\right)-a-b-c=a+b+c\)
( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
NT
0