Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM - GM ta có ;
\(A=\left(a+1\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+2\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\left(a+\frac{1}{2a}\right)+\left(b+\frac{1}{2b}\right)+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+2\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{a.\frac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{1}{2b}}+2\)
\(=4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(=4+3\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2014}{6}=\frac{1007}{3}\)
\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+2ab+b^3-ab\)
\(=\left(a^3+b^3\right)+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)
\(=1\cdot\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=a^2-ab+b^2+ab\)
\(=a^2+b^2\)
\(a^2+b^2\ge0\Rightarrow A\ge0\)
A=a3+2ab+b3-ab
A=(a+b)(a2-ab+b2)+ab
A=a2+b2
Áp dg BDT cosi ta co
a2+b2>=2ab
Dấu = xảy ra khi a=b
=>Amin=2ab <=> a=b=0,5
=>a=0,5
1)
a) \(\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+a^2bc+abc^2\right)\)\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(vì a+b+c=0)
b) \(a+b+c=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\left(theoa\right)\)
BÀI 1:
\(A=\left(x-10\right)^2+103\)
Có: \(\left(x-10\right)^2\ge0\forall x\)
=> \(A\ge103\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(\left(x-10\right)^2=0\Rightarrow x=10\)
\(B=\left(2x+1\right)^2-6\)
Có: \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)
=> \(B\ge-6\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(\left(2x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)
BÀI 3:
a) \(A=y^4+y^3-y^2-2y-\left(y^4+y^3+y^2-2y^2-2y-2\right)\)
\(A=y^4+y^3-y^2-2y-y^4-y^3+y^2+2y+2\)
\(A=2\)
b) \(B=\left(2x\right)^3+3^3-8x^3+2\)
\(B=29\)
Bài 1.
A = x2 - 20x + 103
A = ( x2 - 20x + 100 ) + 3
A = ( x - 10 )2 + 3 ≥ 3 ∀ x
Đẳng thức xảy ra <=> x - 10 = 0 => x = 10
=> MinA = 3 <=> x = 10
B = 4x2 + 4x - 5
B = ( 4x2 + 4x + 1 ) - 6
B = ( 2x + 1 )2 - 6 ≥ -6 ∀ x
Đẳng thức xảy ra <=> 2x + 1 = 0 => x = -1/2
=> MinB = -6 <=> x = -1/2
Bài 2.
A = -x2 + 8x - 21
A = -x2 + 8x - 16 - 5
A = -( x2 - 8x + 16 ) - 5
A = -( x - 4 )2 - 5 ≤ -5 ∀ x
Đẳng thức xảy ra <=> x - 4 = 0 => x = 4
=> MaxA = -5 <=> x = 4
B = lỗi đề :>
Bài 3.
a) y( y3 + y2 - y - 2 ) - ( y2 - 2 )( y2 + y + 1 )
= y4 + y3 - y2 - 2y - ( y4 + y3 + y2 - 2y2 - 2y - 2 )
= y4 + y3 - y2 - 2y - y4 - y3 - y2 + 2y2 + 2y + 2
= 2 ( đpcm )
b) ( 2x + 3 )( 4x2 - 6x + 9 ) - 2( 4x3 - 1 )
= ( 2x )3 + 27 - 8x3 + 2
= 8x3 + 27 - 8x3 + 2
= 29 ( đpcm )
ta có \(Q=\frac{a^2+2a+1}{2a^2+\left(1-a\right)^2}+...\)
\(=\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}+...=\frac{1}{3}+\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}+...\)
\(=1+\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}+\frac{\frac{8}{3}b+\frac{2}{3}}{3b^2-2b+1}+\frac{\frac{8}{3}c+\frac{2}{3}}{3c^2-2c+1}\)
mà \(3a^2-2a+1=3\left(a-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)
=>\(\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{3a^2-2a+1}\le\frac{\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3}a+\frac{2}{3}\right)=4a+1\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào, ta có
\(Q\le1+4\left(a+b+c\right)+3=8\)
dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
^_^
easy !
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel :
\(VT=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{3^2}{1}=9\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Có thưởng thì thưởng số chẵn a nhé :)) ko thích 1001 đâu !
Bài 1 :
a, \(f\left(x\right)=x\left(1-2x\right)+\left(2x^2-x+d\right)\)
\(=x-2x^2+2x^2-x+d=d\)
Đặt \(f\left(x\right)=0\)hay \(d=0\)
Vậy phươnng trình có nghiệm là d = 0 (đề có j sai ko nhỉ?)
b, \(g\left(x\right)=x\left(x-1\right)+1=x^2-x+1\)
Ta có : \(\left(-1\right)^2-4=1-4< 0\)Vô nghiệm