Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu mẫu là bình phương, tức \(A=\dfrac{a^4}{\left(b-1\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(a-1\right)^2}\) thì vẫn làm tương tự:
Ta có:
\(\dfrac{a^4}{\left(b-1\right)^2}+16\left(b-1\right)+16\left(b-1\right)+16\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^4.16^3.\left(b-1\right)^2}{\left(b-1\right)^2}}=32a\)
\(\dfrac{b^4}{\left(a-1\right)^2}+16\left(a-1\right)+16\left(a-1\right)+16\ge32b\)
Cộng vế:
\(A+32\left(a+b\right)-32\ge32\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow A\ge32\)
Ta có:
\(\dfrac{a^4}{\left(b-1\right)^3}+16\left(b-1\right)+16\left(b-1\right)+16\left(b-1\right)\ge32a\)
\(\dfrac{b^4}{\left(a-1\right)^3}+16\left(a-1\right)+16\left(a-1\right)+16\left(a-1\right)\ge32b\)
Cộng vế:
\(A+48\left(a+b\right)-96\ge32\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge96-16\left(a+b\right)\ge96-16.4=32\)
\(A_{min}=32\) khi \(a=b=2\)
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
=> \(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
tương tự ta có
\(\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}\)
mà \(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
từ đó ta có
\(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{1}{2}\)
dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)