Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^4+9\geq 6x^2$
$y^4+9\geq 6y^2$
$\Rightarrow x^4+y^4+18\geq 6(x^2+y^2)$
$A+18\geq 36$
$A\geq 18$
Vậy GTNN của $A$ là $18$ khi $x^2=y^2=3$
b.
$(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 12\geq (x+y)^2$
$\Rightarrow B=x+y\leq \sqrt{12}$. Vậy $B$ max bằng $\sqrt{12}$ khi $x=y=\sqrt{3}$
$(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$
$\Leftrightarrow 6\geq 2C$
$\Leftrightarrow C\leq 3$. Vậy $C_{\max}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=-\sqrt{3}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})^2(1)$
$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(1+1+1)\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2(2)$
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9$(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ suy ra:
$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\geq \frac{9^4}{27}=243$
Vậy GTNN của biểu thức là 243 khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Đặt \(P=\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\) (do \(a+b+c=1\))
\(P=\left(\dfrac{1}{a^4}+\dfrac{1}{b^4}+\dfrac{1}{c^4}\right)\left(a+b+c\right)^4\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^4.b^4.c^4}}.\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^4=3^5=243\)
\(P_{min}=243\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Ta có :
\(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)
Mà \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)
Ta đi cộng vế ( 1 ) và vế ( 2 ) , ta được :
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Ta có :
\((a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=\frac{1}{4}\left(3\right)\)
\(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(4\right)\)
Cộng tiếp đẳng thức ( 3 ); ( 4 ) , ta lại được :
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
Vậy ..................