Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
từ giả thiết => \(ab+bc+ca=0\)
do đó \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
ta chứng minh bài toán pụ sau
nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^2-3abc-3ab\left(a+b\right)=0\)
<=> \(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\) ( luôn đúng vì a+b+c=0)
Áp dụng ta có với \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) => \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\) (ĐPCM)
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
a) Biến đổi VT . Mẫu chung là ( a + 2b )( a - 2b )
\(VT=\frac{a+2b-6b-2\left(a-2b\right)}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 1 )
Biến đổi VP
\(-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2+4b^2+a^2-4b^2}{a^2-4b^2}\)
\(=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2}{a^2-4b^2}=-\frac{a}{a^2-4b^2}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP ( đpcm )
b) \(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)
<=> \(b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)-a^3\)( * )
Biến đổi VT của ( * ) ta có :
\(VT=\left[b+\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right]\left[b^2-\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}+\frac{b^2\left(2a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}\right]\)
\(=\frac{3a^3b}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^6b^2+3a^3b^5+3b^8}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)
\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 1 )
\(VP=\left[\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}-a\right]\left[\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)^2}{\left(a^3-b^3\right)^2}+\frac{a^2\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}+a^2\right]\)
\(=\frac{3ab^3}{a^3-b^3}\cdot\frac{3a^8+3a^5b^3+3a^2b^6}{\left(a^3-b^3\right)^2}\)
\(=\frac{9a^3b^3}{\left(a^3-b^3\right)^3}\left(a^6+a^3b^3+b^6\right)\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => VT = VP => ( * ) đúng
=> Hằng đẳng thức đúng
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+abc+abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2=abc\)
\(\Rightarrow a^2b+2abc+bc^2+ab^2+b^2c+a^2c+ac^2=0\)
\(\Rightarrow b\left(a^2+2ac+c^2\right)+\left(ab^2+b^2c\right)+\left(a^2c+ac^2\right)=0\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)^2+b^2\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(ab+bc+b^2+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left[\left(ab+b^2\right)+\left(bc+ac\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left[b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)\(\left[đpcm\left(a\right)\right]\)
\(\Rightarrow\)* \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)
* \(b+c=0\Rightarrow b=-c\)
* \(a+c=0\Rightarrow a=-c\)
Trường hợp 1 : Nếu \(a=-b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{-b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\)\(=\frac{1}{b^3}-\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{c^3}\)
Mà : \(\frac{1}{a^3+b^3+c^3}=\frac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\frac{1}{c^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{1}{a^3+b^3+c^3}\)\(\left[đpcm\left(b\right)\right]\)
Hai trường hợp còn lại xét tương tự nhé
\(a+b=1\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1=-b\\b-1=-a\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{a}{b^3-1}-\frac{b}{a^3-1}=\frac{a}{\left(b-1\right)^3+3b\left(b-1\right)}-\frac{b}{\left(a-1\right)^3+3a\left(a-1\right)}\)
\(=\frac{a}{-a^3-3ab}-\frac{b}{-b^3-3ab}=\frac{a}{-a\left(a^2+3b\right)}-\frac{b}{-b\left(b^2+3a\right)}\)
\(=\frac{-1}{a^2+3b}-\frac{-1}{b^2+3a}=\frac{-1}{a^2+3b}+\frac{1}{b^2+3a}=\frac{-\left(b^2+3a\right)+a^2+3b}{\left(a^2+3b\right)\left(b^2+3a\right)}\)
\(=\frac{-b^2-3a+a^2+3b}{a^2b^2+3a^3+3b^3+9ab}=\frac{-\left(b^2-a^2\right)+\left(3b-3a\right)}{a^2b^2+3\left(a^3+b^3\right)+9ab}\)
\(=\frac{-\left(b-a\right)\left(b+a\right)+3\left(b-a\right)}{a^2b^2+3\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\right]+9ab}=\frac{-\left(b-a\right)+3\left(b-a\right)}{a^2b^2+3\left[1-3ab\right]+9ab}\)
\(=\frac{2\left(b-a\right)}{a^2b^2+3-9ab+9ab}=\frac{2\left(b-a\right)}{a^2b^2+3}\left(đpcm\right)\)